有N+1个盒子，每个盒子里有N个球，将N+1个盒子从0到N编号，编号是K的盒子有k个红球，N-k个黑球，从中抽取一个盒子，事件A是：从其中有放回的抽取n次都是红球，事件B是：第n+1次抽取到的是红球，求在B发生的概率下A发生的概率，事件A发生的概率，在A发生的概率下B发生的概率

根据题目描述，我们需要求在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 P(A|B)，事件 A 发生的概率 P(A)，以及在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率 P(B|A)。

首先，我们计算事件 A 发生的概率 P(A)。事件 A 发生意味着从盒子中有放回地抽取 n 次，每次都抽到红球。每次抽取到红球的概率为 k / N。由于每次抽取都是独立的，所以事件 A 发生的概率为：

P(A) = (k / N)^n

接下来，我们计算在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率 P(B|A)。根据题目描述，事件 B 是在第 n+1 次抽取时抽到红球。根据条件概率的定义，我们可以将 P(B|A) 计算为事件 A 和 B 同时发生的概率除以事件 A 发生的概率：

P(B|A) = P(A 并且 B) / P(A)

在第 n+1 次抽取时抽到红球，意味着前 n 次抽取都是红球，并且第 n+1 次也是红球。每次抽取到红球的概率为 k / N。由于每次抽取都是独立的，所以事件 A 并且 B 发生的概率为：

P(A 并且 B) = (k / N)^n * (k / N)

将 P(A 并且 B) 和 P(A) 代入计算 P(B|A)，可以得到：

P(B|A) = (k / N)^n * (k / N) / (k / N)^n

化简上述表达式，可以得到：

P(B|A) = k / N

最后，我们计算在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 P(A|B)。根据条件概率的定义，我们可以将 P(A|B) 计算为事件 A 和 B 同时发生的概率除以事件 B 发生的概率：

P(A|B) = P(A 并且 B) / P(B)

将 P(A 并且 B) 和 P(B) 代入计算 P(A|B)，可以得到：

P(A|B) = (k / N)^n * (k / N) / (k / N)

化简上述表达式，可以得到：

P(A|B) = k / N

综上所述，事件 A 在事件 B 发生的条件下的概率为 P(A|B) = k / N，事件 A 发生的概率为 P(A) = (k / N)^n，事件在 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 P(B|A) = k / N。