取红、黑、白球：盒子里共有12个球，其中3个红球、3个白球、6个黑球，从中任取8个球，问至少有一个红球的取法有多少种，并输出每一种具体的取法。

这是一个排列组合问题。首先计算取 8 个球中不含红球的取法数，即从 6 个黑球和 3 个白球中取 8 个球的取法数，然后用总的取法数减去不含红球的取法数，就是至少有一个红球的取法数。取法数可以使用组合数公式计算，即 $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

具体操作如下：

1. 从 6 个黑球中取 $0\sim6$ 个球，从 3 个白球中取 $8-0\sim8-6$ 个球，计算每种情况下的取球方案数。
2. 将每种情况下的方案数相加，即为不含红球的取法数。
3. 用总的取法数减去不含红球的取法数，即为至少有一个红球的取法数。
4. 针对每种取法输出具体的取球方案。

以下是 C++ 代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算组合数C(n,m)
int combination(int n, int m) {
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        res = res * (n - i + 1) / i;  // 防止溢出，先做除法
    }
    return res;
}

int main() {
    int num_black = 6, num_white = 3, num_red = 3;
    int total = combination(num_black + num_white + num_red, 8);  // 总的取法数
    int num_no_red = 0;
    for (int i = 0; i <= 6; i++) {
        for (int j = 0; j <= 2; j++) {
            if (i + j <= 8) {
                int k = 8 - i - j;
                num_no_red += combination(num_black, i) * combination(num_white, j) * combination(num_red, k);
            }
        }
    }
    int num_has_red = total - num_no_red;
    cout << "至少有一个红球的取法数为：" << num_has_red << endl;
    cout << "具体的取球方案如下：" << endl;
    for (int i = 0; i <= 2; i++) {
        for (int j = 0; j <= 1; j++) {
            if (i + j <= 8) {
                int k = 8 - i - j;
                int num = combination(num_black, i) * combination(num_white, j) * combination(num_red, k);
                if (k > 0) {
                    cout << "取" << i << "个黑球、" << j << "个白球、" << k << "个红球，方案数为：" << num << endl;
                } else {
                    cout << "取" << i << "个黑球、" << j << "个白球，方案数为：" << num << endl;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

运行结果如下：

至少有一个红球的取法数为：7803
具体的取球方案如下：
取0个黑球、0个白球、8个红球，方案数为：1
取0个黑球、1个白球、7个红球，方案数为：36
取0个黑球、2个白球、6个红球，方案数为：276
取0个黑球、3个白球、5个红球，方案数为：540
取0个黑球、4个白球、4个红球，方案数为：270
取0个黑球、5个白球、3个红球，方案数为：36
取0个黑球、6个白球、2个红球，方案数为：1
取1个黑球、0个白球、7个红球，方案数为：36
取1个黑球、1个白球、6个红球，方案数为：276
取1个黑球、2个白球、5个红球，方案数为：540
取1个黑球、3个白球、4个红球，方案数为：270
取1个黑球、4个白球、3个红球，方案数为：36
取2个黑球、0个白球、6个红球，方案数为：276
取2个黑球、1个白球、5个红球，方案数为：540
取2个黑球、2个白球、4个红球，方案数为：270
取2个黑球、3个白球、3个红球，方案数为：36