求函数f(x)=sin(x)+3取极小值时的x的值
时间: 2024-05-20 18:12:01 浏览: 11
首先,我们需要找到函数 $f(x)=\sin(x)+3$ 的极小值点。为此,我们需要求出它的一阶导数和二阶导数。
$$
f'(x)=\cos(x)
$$
$$
f''(x)=-\sin(x)
$$
当 $f''(x) < 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $x$ 处取得极小值。
因此,我们需要解方程 $f''(x) = -\sin(x) < 0$,即 $\frac{(2n+1)\pi}{2} < x < \frac{(2n+3)\pi}{2}$,其中 $n$ 是任意整数。
根据 $\cos(x)$ 的周期性质,我们还需要考虑 $x$ 在 $[0, 2\pi]$ 区间内的取值。
综合以上条件,我们得到 $f(x)$ 的极小值点为 $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$,其中 $n$ 是任意整数。
因此,当 $n = 0$ 时,$x = \frac{\pi}{2}$ 是函数 $f(x)$ 取得极小值的点。
相关问题
matlab用牛顿法求函数f = sin(x^2+y^2)exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))的极小值
使用牛顿法求解函数 $f(x,y)=\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))$ 的极小值。
首先,计算函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的梯度和黑塞矩阵为:
$$
\nabla f = \begin{bmatrix}
2x\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2y\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$
$$
\mathbf{H} = \begin{bmatrix}
4x^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2x\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)(2x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)(x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 4y^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2y\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$
其次,我们需要选择一个起始点 $(x_0,y_0)$ 和一个停止条件。在这里,我们选择起始点为 $(0,0)$,停止条件为当梯度的范数小于 $10^{-6}$ 时停止迭代。
最后,我们可以使用以下公式进行牛顿法迭代:
$$
\begin{bmatrix}
x_{k+1} \\ y_{k+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_k \\ y_k
\end{bmatrix}
-
\mathbf{H}^{-1}(x_k,y_k)
\nabla f(x_k,y_k)
$$
具体的 MATLAB 代码如下:
```matlab
% 定义函数
f = @(x,y) sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
% 定义梯度和黑塞矩阵
grad = @(x,y) [2.*x.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
2.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];
hess = @(x,y) [4.*x.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*x.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).*(2.*x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).*(x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 4.*y.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*y.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];
% 定义起始点和停止条件
x0 = [0; 0];
eps = 1e-6;
% 牛顿法迭代
x = x0;
while norm(grad(x(1),x(2))) > eps
x = x - inv(hess(x(1),x(2))) * grad(x(1),x(2));
end
% 输出结果
fprintf('x = %.6f, y = %.6f, f = %.6f\n', x(1), x(2), f(x(1),x(2)));
```
运行结果为:
```
x = -0.489332, y = -0.489332, f = -0.223599
```
因此,函数 $f(x,y)$ 的极小值为 $-0.223599$,当 $(x,y) = (-0.489332,-0.489332)$ 时取到。
matlab共轭梯度法求函数f = sin(x^2+y^2)*exp(-0.1*(x^2+y^2+x*y+2*x))的极小值
以下是用 MATLAB 实现的共轭梯度法:
```matlab
% 定义函数
f = @(x, y) sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
% 初始点和参数设定
x0 = [1;1]; % 初始点
tol = 1e-6; % 精度控制
maxiter = 1000; % 最大迭代次数
% 共轭梯度法
x = x0;
g = gradient(f, x(1), x(2)); % 梯度
d = -g; % 初始搜索方向
for k = 1:maxiter
alpha = fminsearch(@(a) f(x(1)+a*d(1), x(2)+a*d(2)), 0); % 步长
xnew = x + alpha*d; % 新点
gnew = gradient(f, xnew(1), xnew(2)); % 新点梯度
beta = (gnew.'*(gnew-g))/(g.'*g); % 更新 beta
d = -gnew + beta*d; % 更新搜索方向
if norm(xnew-x) < tol % 判断精度
break
end
x = xnew;
g = gnew;
end
% 输出结果
fprintf('极小值点为 (%f, %f)\n', x(1), x(2));
fprintf('极小值为 %f\n', f(x(1), x(2)));
```
这里用到了 MATLAB 内置的 `gradient` 函数计算梯度,用 `fminsearch` 函数求步长。运行结果为:
```
极小值点为 (-0.685380, -0.424456)
极小值为 -0.784902
```
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