爱因斯坦曾出过这样一道数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，最后剩下1阶；若每步跨3阶，最后剩下2阶；若每步跨5阶，最后剩下4阶；若每步跨6阶，则最后剩下5阶；只有每步跨7阶，最后才正好1阶不剩。参考例

### 回答1：
题，求这条阶梯最少有多少阶？

这道数学题的答案是：阶梯共有119阶。

解题思路：根据题意，我们可以列出以下方程组：

x ≡ 1 (mod 2)

x ≡ 2 (mod 3)

x ≡ 4 (mod 5)

x ≡ 5 (mod 6)

x ≡ 1 (mod 7)

其中，x表示阶梯的总阶数。根据中国剩余定理，我们可以将上述方程组化简为：

x ≡ 1 (mod 2)

x ≡ 2 (mod 3)

x ≡ 4 (mod 5)

x ≡ 5 (mod 6)

x ≡ 1 (mod 7)

=>

x ≡ 11 (mod 30)

x ≡ 1 (mod 7)

=>

x ≡ 71 (mod 210)

因此，阶梯的总阶数为71 + 210k（k为任意整数）。又因为阶梯的总阶数必须大于等于5，所以k的最小值为，即阶梯的总阶数为71。但是，这个数并不是阶梯的最小值，因为题目要求阶梯的总阶数必须是7的倍数。因此，阶梯的最小值为119，即71 + 210 = 119。

### 回答2：
这题其实是一道中国古代数学问题——七余数问题的变体。

首先，我们可以列出方程组：

$$\begin{cases} x\equiv1(mod\ 2)\\ x\equiv2(mod\ 3)\\ x\equiv4(mod\ 5)\\ x\equiv5(mod\ 6)\\ x\equiv1(mod\ 7) \end{cases}$$

其中，$x$ 表示我们要求的阶梯的总阶数。

我们可以将方程组中的每个方程单独求解，然后再利用中国剩余定理得到 $x$ 的最小正整数解。

根据第一个方程，我们可以知道 $x$ 必须是奇数。而根据第二个方程，我们可以知道 $x$ 是 $2$ 的倍数，再加上 $1$ 后能被 $3$ 整除。两者矛盾，因此这个方程组无解。

然而，如果我们将阶数增加到 $8$，则可以得到：

$$\begin{cases} x\equiv1(mod\ 2)\\ x\equiv2(mod\ 3)\\ x\equiv4(mod\ 5)\\ x\equiv5(mod\ 6)\\ x\equiv1(mod\ 7)\\ x\equiv0(mod\ 8) \end{cases}$$

将每个方程单独求解后，我们可以得出：

$$x\equiv233(mod\ 840)$$

因此，最小正整数解为 $x = 233$，即阶梯总阶数为 $233$ 阶。

### 回答3：
这道数学题被称为《爱因斯坦的难题》，因为它通过不同步长的跨阶方式，引导我们思考数字和模数之间的关系，考验我们的逻辑推理和数学技巧。

首先，设这个阶梯的阶数为N，则根据题意可列出如下方程组：

N ≡ 1 (mod 2)
N ≡ 2 (mod 3)
N ≡ 4 (mod 5)
N ≡ 5 (mod 6)
N ≡ 1 (mod 7)

可以使用中国剩余定理求解该方程组，该定理告诉我们：如果给出一组同余方程，且所有的模数两两互质，则这个同余方程组必然有解，且解是唯一的。（这里不再赘述具体的求解过程）

通过求解得到，这条长阶梯的级数为：N = 420 + 420K （K为任意整数）

也就是说，这个阶梯至少有420阶，而且每420阶为一个周期。通过模数的选择，我们可以得到更多的信息。比如，最小正整数解为横跨7阶，但这个阶梯的阶数还远远没有到极限，它还有很多个周期，每个周期长度为420阶，而这些周期中，都存在横跨7阶的正整数解。

这个问题虽然看似简单，但却涉及到了数学中的很多概念和技巧。通过解答这个问题，我们可以加深对于同余方程、模数、中国剩余定理等数学概念的理解，提高自己的逻辑思维和数学推理能力。