阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 n(n \le 100)n(n≤100) 堆金币，第 ii 堆金币的总重量和总价值分别是 m_i,v_i(1\le m_i,v_i \le 100)m i ​ ,v i ​ (1≤m i ​ ,v i ​ ≤100)。阿里巴巴有一个承重量为 t(t \le 1000)t(t≤1000) 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

题目描述：阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 n(n≤100) 堆金币，第 ii 堆金币的总重量和总价值分别是 mi,vi(1≤mi,vi≤100)。阿里巴巴有一个承重量为 t(t≤1000) 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

解题思路：本题是一个经典的背包问题，但是与一般的背包问题不同的是，本题中的物品可以分割。因此，我们可以将每个物品拆分成若干个小物品，使得每个小物品的重量和价值比相同。然后，我们就可以将问题转化为一个普通的背包问题，使用动态规划求解即可。

具体地，我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示前 i 个物品中，背包容量为 j 时可以获得的最大价值。对于每个物品 i，我们可以将其拆分成若干个小物品，每个小物品的重量为 w，价值为 v，其中 w 是不大于 j 的最大整数。然后，我们可以枚举拆分出的小物品数量 k，计算出拆分后的总重量和总价值，然后更新 dp[i][j] 的值。

具体地，我们可以使用如下的状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*w] + k*v)

其中，k 的取值范围为 [0, m[i]/w]，表示拆分出的小物品数量。注意，当 k=0 时，表示不拆分该物品。

最终，我们可以得到 dp[n][t] 的值，即为阿里巴巴最多可以拿走的价值。

相关问题

阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 N(N \le 100)N(N≤100) 堆金币，第 ii 堆金币的总重量和总价值分别是 m_i,v_i(1\le m_i,v_i \le 100)m i ​ ,v i ​ (1≤m i ​ ,v i ​ ≤100)。阿里巴巴有一个承重量为 T(T \le 1000)T(T≤1000) 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？（C语言）

这是一道经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

定义 dp[i][j] 表示前 i 堆金币，背包容量为 j 时可以获取的最大价值。

状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*m[i]] + k*v[i])，其中 0 <= k <= j/m[i]

意义为：当前考虑第 i 堆金币，可以选择不取，也可以选择取 k 个（0 <= k <= j/m[i]），取 k 个时可以获得 k*v[i] 的价值，剩余容量为 j-k*m[i]，需要在前 i-1 堆金币中选择。

最终的答案为 dp[N][T]。

以下是完整的 C 语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX_N 100
#define MAX_T 1000

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int N, T;
    int m[MAX_N + 1], v[MAX_N + 1];
    int dp[MAX_N + 1][MAX_T + 1];

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    scanf("%d %d", &N, &T);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d %d", &m[i], &v[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= T; j++) {
            for (int k = 0; k <= j / m[i]; k++) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*m[i]] + k*v[i]);
            }
        }
    }

    printf("%d\n", dp[N][T]);
    return 0;
}

部分背包问题 ## 题目描述 阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 N(N <= 100) 堆金币，第 i 堆金币的总重量和总价值分别是 m_i,v_i(1<= m_i,v_i <= 100)。阿里巴巴有一个承重量为 T(T <= 1000) 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 堆金币中，背包容量为 j 时的最大总价值。

根据题目要求，我们可以得到以下状态转移方程：
- 当 i=0 或 j=0 时，dp[i][j] = 0，表示没有金币或背包容量为0时的最大总价值为0；
- 当 m_i > j 时，表示第 i 堆金币的重量大于背包容量，无法装入背包，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择第 i 堆金币；
- 当 m_i <= j 时，表示第 i 堆金币的重量小于等于背包容量，可以选择装入或不装入背包。如果选择装入，则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-m_i] + v_i)，即选择第 i 堆金币和不选择第 i 堆金币中的最大值；如果不选择装入，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]；
最终，dp[N][T] 即为所求的最大总价值。

以下是一个动态规划的实现示例（使用Python语言）：

def max_value(N, T, m, v):
    dp = [[0] * (T+1) for _ in range(N+1)]
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, T+1):
            if m[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-m[i-1]] + v[i-1])
    return dp[N][T]
    
# 示例输入
N = 3
T = 5
m = [2, 3, 4]
v = [3, 4, 5]

# 输出最大总价值
print(max_value(N, T, m, v))  # 输出：9

在示例输入中，有3堆金币，背包容量为5。第一堆金币重量为2，价值为3；第二堆金币重量为3，价值为4；第三堆金币重量为4，价值为5。通过动态规划计算，阿里巴巴最多可以拿走的价值为9。