证明度量空间中到一个非空集合的下确界是一个连续函数有最小值

首先，我们考虑到一个非空集合 $A$ 的下确界 $\inf A$ 存在于度量空间 $X$ 中。因为 $A$ 非空，所以存在一个下界 $m$，即 $m\leq a$，对于所有 $a\in A$。

接下来，我们证明 $\inf$ 是连续函数。考虑到度量空间 $X$ 中的任意一个收敛的序列 $\{a_n\}$，如果 $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a$，那么对于 $a$ 的任意一个邻域 $U$，存在 $N$ 使得 $a_n\in U$，对于所有 $n>N$。因为 $\inf A$ 是 $A$ 的下界，所以有 $\inf A\leq a_n$，对于所有 $n$。于是有 $\inf A\leq a$。另一方面，对于任意 $\epsilon>0$，由于 $\inf A$ 是 $A$ 的下界，所以存在 $b\in A$，使得 $b<\inf A + \epsilon$。因此，对于任意的 $a_n\in A$，我们有

$$
a_n \geq \inf A > \inf A - \epsilon > b - \epsilon.
$$

由于 $a_n$ 收敛于 $a$，所以对于 $a$ 的任意一个邻域 $U$，存在 $N$，使得 $a_n\in U$，对于所有 $n>N$。于是我们得到

$$
a \geq \inf A - \epsilon > b - \epsilon.
$$

因为 $\epsilon$ 是任意小的正数，所以有 $a\geq \inf A$。综上所述，我们得到了 $\lim_{n\rightarrow\infty} \inf a_n = \inf \lim_{n\rightarrow\infty} a_n$，即 $\inf$ 是连续函数。

最后，我们证明 $\inf A$ 有最小值。考虑到 $A$ 的任意一个下界 $m$，由于 $\inf A\leq m$，所以 $m$ 不是 $\inf A$。因此，存在一个 $\epsilon>0$，使得 $\inf A + \epsilon < m$。由于 $\inf A$ 是 $A$ 的下界，所以存在 $a\in A$，使得 $a<\inf A + \epsilon$。于是我们得到 $a<m$，这意味着 $m$ 不是 $A$ 的下界，与假设矛盾。因此，$\inf A$ 是 $A$ 的最小值。