写出 0 1 [ , ] xx 上的三次Hermite插值 3() H x，说明构造原理.

三次Hermite插值是指通过已知的函数值$f(x_i)$和导数$f'(x_i)$来构造一个三次多项式$H(x)$，使得$H(x_i)=f(x_i)$并且$H'(x_i)=f'(x_i)$。在本题中，我们需要在给定的点集$0,1,[,],$和函数值$f(0),f(1),f([),f(]),f(x)$以及导数$f'(0),f'(1),f'([),f'](])$的基础上，构造一个三次Hermite插值$H(x)$。

首先，我们需要构造两个一次的Hermite插值$H_1(x)$和$H_2(x)$，使得$H_1(0)=f(0)$，$H_1'(0)=f'(0)$，$H_1([)=f([)$，$H_1'([)=f'([))$，以及$H_2(1)=f(1)$，$H_2'(1)=f'(1)$，$H_2(])=f(])$，$H_2'(])=f'(])$。根据一次Hermite插值的公式，可以得到：

$$H_1(x)=f(0)\frac{[1-(x/[)]^2]}{1-([]/0)^2}+f([)\frac{[1-(0/[)]^2]}{1-([]/0)^2}+f'(0)\frac{(x/[])^2(x/[]-[])}{1-([]/0)^2}+f'([)\frac{(x/[])^2(x-0)}{1-([]/0)^2}$$

$$H_2(x)=f(1)\frac{[1-(x/])^2]}{1-(1/[)]^2}+f(])\frac{[1-(1/])^2]}{1-(1/[)]^2}+f'(1)\frac{(x/])^2(x-1)}{1-(1/[)]^2}+f'(])\frac{([]-x/])^2([]-x)}{1-(1/[)]^2}$$

接下来，我们将$H_1(x)$和$H_2(x)$合并为一个三次Hermite插值$H(x)$。为此，我们需要构造一个权重函数$w(x)$，使得$H(x)=w(x)H_1(x)+(1-w(x))H_2(x)$。根据插值的要求，$w(0)=1$，$w'(0)=0$，$w(1)=0$，$w'(1)=0$。根据三次Hermite插值的公式，可以得到：

$$w(x)=3(x-0)^2-2(x-0)^3$$

最终的三次Hermite插值为：

$$H(x)=w(x)H_1(x)+(1-w(x))H_2(x)$$

将$H_1(x)$和$H_2(x)$代入上式，即可得到最终的表达式。