( (n+1)P_n(x) - (2n+1)xP_n(x) + nP_{n-1}(x) = 0 ) 其中 ( P_0(x) = 1 )，( P_1(x) = x ) 编写函数计算 P (x), P (x), P (x) 在[-1,1]区间的值，并用不同颜色画出这

这是一个关于二项式系数递推公式，它描述了Legendre多项式的性质。Legendre多项式 \( P_n(x) \) 是一组特殊的多项式，它们在数学和物理中有广泛应用，特别是在正交化和微分方程解中。给出的递推关系展示了如何从已知的前两个系数 \( P_0(x) = 1 \) 和 \( P_1(x) = x \) 计算更高阶的多项式。

为了编写计算这些多项式的函数并绘制其在区间 [-1, 1] 上的颜色图，你需要按照以下步骤操作：

1. 定义一个函数 `legendre_poly(n, x)`，它接受整数 \( n \) 表示多项式的阶数和变量 \( x \) 的值，然后根据递推关系计算 \( P_n(x) \)。

def legendre_poly(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    else:
        p_n_minus_1 = legendre_poly(n - 1, x)
        return ((n + 1) * p_n_minus_1 - (2 * n + 1) * x * p_n_minus_1 + n * p_n_minus_2) / (2 * n)

# 初始化低阶多项式值
p_0 = 1
p_1 = lambda x: x

# 使用循环或生成器计算更高阶的多项式
for i in range(2, 5):  # 可以自定义想要计算的多项式的阶数
    p_i = legendre_poly(i, x)

2. 创建一个绘图函数，使用matplotlib库将多项式绘制出来，并设置不同的颜色代表不同的多项式。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def plot_legendres(start=0, end=1, num_points=100, colors=['blue', 'green', 'red']):
    x_values = np.linspace(-1, 1, num_points)
    for n, color in enumerate(colors[:start+1]):
        y_values = [legendre_poly(n, val) for val in x_values]
        plt.plot(x_values, y_values, label=f'$P_{n}(x)$', color=color)

    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('P(x)')
    plt.title('Legendre Polynomials on [-1, 1]')
    plt.legend()
    plt.show()

plot_legendres()  # 调用函数绘制图

这个脚本会生成一个图，展示从 \( P_0(x) \) 到 \( P_{n-1}(x) \) 的多项式（假设 n=3），每个多项式用不同的颜色表示。你可以通过修改`plot_legendres`函数的参数来自定义颜色、多项式的阶数以及图像的细节。