仿射变换的逆变换怎么求

对于二维平面上的仿射变换，其逆变换可以通过矩阵求逆的方式来求解。具体步骤如下：

1. 将仿射变换矩阵A表示成齐次坐标形式，即将其扩展为一个3x3的矩阵，其中第三列为[0 0 1]。

2. 计算A的逆矩阵A-1。

3. 将A-1表示为二维仿射变换的矩阵形式，即将其从3x3的矩阵中取出前两行和前两列，得到一个2x2的矩阵B。

4. 将B表示为齐次坐标形式，即将其扩展为一个3x3的矩阵，其中第三列为[0 0 1]。

5. B即为所求的仿射变换的逆变换矩阵。

需要注意的是，如果原始的仿射变换矩阵不可逆，则无法进行逆变换。此外，如果使用浮点数进行计算时可能会出现精度误差，因此在实际应用中需要进行一定的处理。

相关问题

opencv仿射变换与逆变换

以下是OpenCV中的仿射变换和逆变换的示例代码：

1. 仿射变换：

import cv2
import numpy as np

# 读取原始图像
img = cv2.imread(r"D:\tuxiang\qq.jpg")

# 原始图像中的三个坐标点
pts1 = np.float32([[50, 50], [200, 50], [50, 200]])

# 变换后的图像中的三个点坐标
pts2 = np.float32([[10, 100], [200, 50], [100, 250]])

# 计算仿射变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2)

# 进行仿射变换
dst1 = cv2.warpAffine(img, M, (img.shape[1], img.shape[0]))

# 显示原始图像和变换后的图像
cv2.imshow('Original Image', img)
cv2.imshow('Transformed Image', dst1)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

2. 逆变换：

import cv2
import numpy as np

# 读取原始图像
img = cv2.imread(r"D:\tuxiang\qq.jpg")

# 原始图像中的三个坐标点
pts1 = np.float32([[50, 50], [200, 50], [50, 200]])

# 变换后的图像中的三个点坐标
pts2 = np.float32([[10, 100], [200, 50], [100, 250]])

# 计算逆仿射变换矩阵
M_inv = cv2.getAffineTransform(pts2, pts1)

# 进行逆仿射变换
dst2 = cv2.warpAffine(img, M_inv, (img.shape[1], img.shape[0]))

# 显示原始图像和逆变换后的图像
cv2.imshow('Original Image', img)
cv2.imshow('Inverse Transformed Image', dst2)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

python实现仿射变换的逆变换

实现仿射变换的逆变换，需要使用变换矩阵的逆矩阵。假设原始图像中的点为 $(x,y)$，经过仿射变换后变为 $(x',y')$，则有：

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & t_x\\a_{21} & a_{22} & t_y\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示仿射变换矩阵的四个参数，$t_x$ 和 $t_y$ 表示平移量。

对上式两边同时乘以变换矩阵的逆矩阵，可以得到：

$\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{21} & a_{21}t_y-a_{22}t_x\\-a_{12} & a_{11} & a_{12}t_x-a_{11}t_y\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}$

因此，我们可以使用上述逆变换矩阵来实现仿射变换的逆变换。

下面是一个简单的 Python 代码实现：

import numpy as np

# 定义仿射变换矩阵
a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [0, 0, 1]])

# 计算变换矩阵的逆矩阵
a_inv = np.linalg.inv(a)

# 假设变换后的点为 (10, 20)
x, y = 10, 20
point = np.array([x, y, 1])

# 计算逆变换后的点
inv_point = np.dot(a_inv, point)

# 输出逆变换后的点坐标
print(inv_point[:2])

上述代码中，我们首先定义了一个仿射变换矩阵 `a`，然后通过 `np.linalg.inv` 函数计算了该矩阵的逆矩阵 `a_inv`。接着，假设变换后的点坐标为 $(10, 20)$，我们将其表示为向量 `point`，并使用 `np.dot` 函数计算了逆变换后的点坐标 `inv_point`。最后，我们输出了逆变换后的点坐标的前两个元素，即 $(x,y)$ 坐标。