举例说明仿射变换的变换矩阵和逆变换矩阵

仿射变换是一种二维空间中的线性变换，它保留了图形的比例和方向，但可能会改变大小。这种变换通常通过一个称为变换矩阵的2x2或3x3矩阵表示，对于二维图像，这个矩阵是一个基础操作，如平移、缩放、旋转和平移等。

例如，一个二维平移变换可以由一个2x2的单位矩阵加上一个偏置向量来描述：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & t_x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

这里，\( (t_x, t_y) \) 是向右和向上移动的距离。

旋转和缩放可以通过以下矩阵分别表示：
- 顺时针旋转角度 \( \theta \) 的矩阵为：
\[ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]
- 缩放比例因子 \( s \) 的矩阵为：
\[ \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} \]

逆变换矩阵用于将经过变换后的坐标恢复到原始状态。对于上述的平移矩阵，逆矩阵就是减去偏置向量：
\[ \begin{bmatrix} 1 & -t_x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对于旋转和缩放，逆变换是应用相反的角度或缩放因子：
- 逆旋转矩阵为 \( \begin{bmatrix} \cos(-\theta) & \sin(-\theta) \\ -\sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{bmatrix} \)
- 逆缩放矩阵为 \( \begin{bmatrix} \frac{1}{s} & 0 \\ 0 & \frac{1}{s} \end{bmatrix} \)