若某二叉树有 5 个叶结点,其权值分别为 10、12、16、21、30,则其最小的带权路径长度(wpl)是:
时间: 2023-05-31 10:17:47 浏览: 2387
### 回答1:
根据给出的条件,我们可以将叶子节点的权值从小到大排序为:10,12,16,21,30。 接下来,我们可以根据哈夫曼编码的规则来构造哈夫曼树。
首先,我们找到权值最小的两个叶子节点,将它们合并成一个新的节点,其权值为它们的和,即10+12=22。然后,我们将这个新节点插入到原来的叶子节点的位置上,得到以下的树形结构:
```
22
/ \
10 12
/ \
16 21
/
30
```
接下来,我们再次找到权值最小的两个叶子节点,将它们合并成一个新的节点,其权值为它们的和,即16+21=37。然后,我们将这个新节点插入到原来的叶子节点的位置上,得到以下的树形结构:
```
59
/ \
22 37
/ \ / \
10 12 16 21
/
30
```
重复上述步骤,直到所有的叶子节点都被合并为一个根节点。最终得到的哈夫曼树如下:
```
118
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
59 59
/ \ / \
22 37 22 37
/ \ / \ / \ / \
10 12 16 21 16 21 30 10
```
最小带权路径长度(WPL)定义为叶子节点的权值与其到根节点的路径长度的乘积之和。因此,我们可以计算出最小带权路径长度为:
```
WPL = 10*3 + 12*3 + 16*4 + 21*4 + 30*4 = 226
```
因此,该二叉树的带权路径长度为226,即最小带权路径长度为226。
### 回答2:
首先需要了解什么是二叉树的带权路径长度(wpl):指二叉树中每一个叶子结点的权值乘上它到根结点的路径长度之和,即以叶子结点为权值的权路径长度之和。最小的带权路径长度指该二叉树中,最优解中的权值和。
根据哈夫曼编码的思想,可以利用贪心算法来求解带权路径长度的最小值。
步骤如下:
1. 根据给定的权值构建哈夫曼树(哈夫曼树是带权路径长度最短的树),将最小的两个权值相加,作为它们共同的父节点的权值,重复此过程直至构建出哈夫曼树。
2. 对于每一次的合并操作,都要计算该节点的带权路径长度,即它的权值乘以它到根节点的距离。对每个节点的带权路径长度进行累加,得到该二叉树的带权路径长度。
3. 计算出二叉树的带权路径长度之和,即为该二叉树的最小带权路径长度。
由给定的权值构建出哈夫曼树如下图:
105
/ \
46 59
/ \ / \
21 25 30 29
\ / \
10 16 13
在哈夫曼树中,所有叶子结点的带权路径长度之和即为最小的带权路径长度。所以5个叶节点的权值乘以它们到根节点的距离分别为:
10 * 3 + 12 * 3 + 16 * 2 + 21 * 2 + 30 * 2 = 226
因此,最小带权路径长度为 226。
### 回答3:
根据哈夫曼树的构造方法,我们可以先将这 5 个叶节点按照权值从小到大排序,得到序列 10、12、16、21、30。接下来根据哈夫曼树的构造规则,我们在每一次构造的过程中,都会选择两个权值最小的节点进行合并,形成一个新的节点,其权值为两个节点权值之和。因此,我们可以模拟构造哈夫曼树的过程,具体步骤如下:
1. 选择权值最小的两个节点 10 和 12,将它们合并为一个新节点,权值为 22,得到以下树形结构:
22
/ \
10 12
2. 选择权值最小的两个节点 16 和 21,将它们合并为一个新节点,权值为 37,得到以下树形结构:
22 37
/ \ / \
10 12 16 21
3. 最后,将上一步得到的两个子树合并为一个树,得到以下树形结构:
95
______|______
| |
37 58
___|___ ___|___
| | | |
16 21 22 30
最终得到的树就是哈夫曼树,其带权路径长度为:
10 × 2 + 12 × 2 + 16 × 2 + 21 × 2 + 30 × 1 = 118
因此,这个二叉树的最小带权路径长度为 118。
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