所以X(N)是关于N/2对称的吗
时间: 2024-03-11 07:44:28 浏览: 25
对于实数序列x(n),它的DFT X(k) 是一个复数序列,其中包含了信号在频域中的幅度和相位信息。对于一个N点DFT,由于X(k) 是一个长度为N的复数序列,因此它具有对称性。
具体来说,如果将X(k) 的下标k 按照 k=0,1,2,...,N/2-1,N/2,N/2+1,...,N-1 的顺序排列,可以发现 X(k) 与 X(N-k) 的幅度相等,相位差为相反数。这种对称性被称为Hermitian对称性,也可以称为共轭对称性或镜像对称性。
因此,可以得出结论,X(N) 与 X(0)、X(N/2) 之间存在共轭对称性。具体来说,如果将X(k) 的下标按照上述方式排列,有:
X(N) = X(0)*
X(N/2) = X(N/2)*
其中,*表示共轭复数。这个结论可以用数学公式证明,也可以通过DFT的几何解释来理解,即在频率域中,X(N)、X(0)、X(N/2) 三个点关于频率轴具有对称性。
需要注意的是,这个对称性只针对实数序列的DFT成立,对于复数序列的DFT则不成立。
相关问题
证明函数 f(x) = 1/2 x'Qx 的共轭函数为 f*(y) = 1/2 y' Q^-1 y,其中 Q∈R的n×n是对称矩阵且可逆。
根据定义,函数 f(x) 的共轭函数为:
f*(y) = sup{x}(xy - f(x))
其中 sup 表示上确界。我们需要证明,当 f(x) = 1/2 x'Qx 时,f*(y) = 1/2 y'Q^-1 y。
首先,我们可以将 f(x) 展开:
f(x) = 1/2 x'Qx = 1/2 ∑i,jQij xi xj
然后,我们可以将 f*(y) 写成以下形式:
f*(y) = sup{x}(xy - 1/2 x'Qx)
将 x'Qx 展开并整理得到:
f*(y) = sup{x}(∑i,jQij xi yj - 1/2 ∑i,jQij xi xj)
接下来,我们需要求解这个最优化问题。我们可以通过求导来找到最优解。
对 x 求导得到:
∂(xy - 1/2 x'Qx)/∂xi = yi - ∑jQij xj
令其等于0,解出 x 的最优解:
xi = ∑j(Q^-1)ij yj
将最优解代入 f*(y) 的表达式中,得到:
f*(y) = 1/2 y'Q^-1 y
证毕。
证明函数 f ( x )=1/2x的转置Qx 的共轭函数为 f* ( y )=1/2y的转置Q 的逆y ,其中 Q∈R的n×n是 对称矩阵且可逆。
首先,我们需要确定 $f(x)$ 的转置 $f^T(x)$ 和共轭函数 $f^*(y)$。由于 $f(x)$ 是实函数,所以 $f^T(x) = f(x)$。而 $f^*(y)$ 的定义为:
$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-f(x)\}$$
接下来,我们需要计算 $f^*(y)$。将 $f(x)$ 代入上式得到:
$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\}$$
注意到 $Q$ 是对称矩阵,因此可以进行特征值分解 $Q=VDV^T$,其中 $V$ 是正交矩阵,$D$ 是对角矩阵,对角线上的元素为 $Q$ 的特征值。令 $y=Vz$,则:
$$\begin{aligned} f^*(y) &= \sup_x \{(Vz)^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\} \\ &= \sup_x \{z^TV^Tx-\frac{1}{2}x^TVDV^Tx\} \\ &= \sup_x \{z^Tx-\frac{1}{2}x^TDx\} \\ &= \frac{1}{2}z^TQ^{-1}z \end{aligned}$$
其中最后一步利用了二次型的标准形式。因此,$f^*(y) = \frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$,即 $f^*(y)$ 的转置为 $\frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$。
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