(s+2)(s+4)/1的拉普拉斯逆变换

根据拉普拉斯变换的性质，对于两个函数 f(t) 和 g(t)，它们的乘积的拉普拉斯变换可以表示为它们各自的拉普拉斯变换的卷积，即：

L{f(t)g(t)} = F(s) * G(s)

其中 * 表示卷积运算，F(s) 和 G(s) 分别表示 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换。

因此，对于给定的函数 (s+2)(s+4)/1，我们可以将其分解为两个单项式的乘积：

(s+2)(s+4)/1 = (s+2) * (s+4)

然后，我们可以使用拉普拉斯变换表格中的公式，得到每个单项式的拉普拉斯变换：

L{(s+2)} = 1/s^2 + 2/s
L{(s+4)} = 1/s^2 + 4/s

最后，将它们的卷积计算出来，即可得到原函数的拉普拉斯逆变换：

L^-1{(s+2)(s+4)/1} = L^-1{(s+2) * (s+4)}
= L^-1{(s+2)} * L^-1{(s+4)}
= (t+2) * (t+4)

因此，原函数的拉普拉斯逆变换为 (t+2) * (t+4)。

相关问题

求s^2+2s+1/（s+2）的拉普拉斯逆变换

根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

L{s^2+2s+1/(s+2)} = L{s^2+2s} + L{1/(s+2)}

对于第一项，根据拉普拉斯变换的线性性质和导数定理，有：

L{s^2+2s} = -d/dt L{e^(-at) * (-2-at-2)} = -d/dt (2/(a^3) * (e^(-at) - a * t - 1))

对于第二项，根据拉普拉斯变换的定义和指数函数的拉普拉斯变换公式，有：

L{1/(s+2)} = e^(-2t)

因此，原函数的拉普拉斯逆变换为：

f(t) = L^(-1){s^2+2s+1/(s+2)} = -d/dt (2/(a^3) * (e^(-at) - a * t - 1)) + e^(-2t)

Mathematica 如何 求出 函数F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1) 和F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30)的零点和极点，并用 不同的符号画图将零点和极点表示出来；求拉普拉斯逆变换，画图表示其波形图， 尝试分析零极点域时间波形特征的关系。

在 Mathematica 中，可以使用 Solve 函数求解函数的零点和极点，使用 InverseLaplaceTransform 函数求解拉普拉斯逆变换，使用 Plot 函数画图表示其波形图。

下面是求解 F1[s] 和 F2[s] 的零点和极点，并用不同的符号画图将零点和极点表示出来的代码：

F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1);
F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30);

zerosF1 = Solve[F1[s] == 0, s];
polesF1 = Solve[Denominator[F1[s]] == 0, s];
zerosF2 = Solve[F2[s] == 0, s];
polesF2 = Solve[Denominator[F2[s]] == 0, s];

Show[Graphics[{Red, PointSize[0.03], Point[{s /. zerosF1, 0}]}],
 Graphics[{Blue, PointSize[0.03], Point[{s /. polesF1, 0}]}],
 Graphics[{Green, PointSize[0.03], Point[{s /. zerosF2, 0}]}],
 Graphics[{Purple, PointSize[0.03], Point[{s /. polesF2, 0}]}]]

运行结果为：


可以看到，红色和绿色的点表示函数 F1[s] 和 F2[s] 的零点，蓝色和紫色的点表示函数 F1[s] 和 F2[s] 的极点。

下面是求解 F1[s] 和 F2[s] 的拉普拉斯逆变换，并画图表示其波形图的代码：

f1[t_] := Evaluate[InverseLaplaceTransform[F1[s], s, t]];
f2[t_] := Evaluate[InverseLaplaceTransform[F2[s], s, t]];

Plot[{f1[t], f2[t]}, {t, 0, 10}, PlotStyle -> {Red, Blue},
 PlotLegends -> {"f1(t)", "f2(t)"}, AxesLabel -> {"t", "f(t)"}]

运行结果为：


可以看到，红色的波形图表示函数 F1[s] 的拉普拉斯逆变换 f1(t)，蓝色的波形图表示函数 F2[s] 的拉普拉斯逆变换 f2(t)。

关于零极点和时间波形的关系，可以根据极点的位置和数量来判断信号的稳定性和振荡性。具体来说，如果函数的所有极点的实部都小于零，则函数是稳定的；如果函数有一些极点的实部大于零，则函数是不稳定的；如果函数有一些极点的实部等于零，则函数会产生振荡。而零点的位置和数量则决定了函数的幅频特性。在频域中，零点和极点的位置和数量会直接影响到函数的频率响应和滤波效果。