设计一On2时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列

我们可以使用动态规划来解决这个问题，并且可以在O(n^2)的时间复杂度内完成。

首先，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。显然，当i=1时，dp[1]=1。

接下来，我们考虑如何计算出dp[i]的值。我们可以枚举前面的所有元素j，如果第j个元素小于第i个元素，则dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1)。这个式子的意思是：如果第j个元素可以和第i个元素组成一个递增子序列，则以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度应该是dp[j]+1。

最终的答案就是dp数组中的最大值。

下面是具体的代码实现：

int longestIncreasingSubsequence(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> dp(n, 1);
    int ans = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    return ans;
}

时间复杂度为O(n^2)。

相关问题

设计一个o(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列

### 回答1：
可以使用动态规划来解决这个问题。

定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。

初始化dp数组为1，因为每个元素本身都可以作为一个长度为1的单调递增子序列。

然后从第二个元素开始遍历整个序列，对于每个元素i，再从第一个元素到第i-1个元素中找到比它小的元素j，如果存在这样的元素j，则更新dp[i]为dp[j]+1，表示以j为结尾的最长单调递增子序列再加上i这个元素可以构成以i为结尾的更长的单调递增子序列。

最后，遍历整个dp数组，找到其中最大的值，即为整个序列的最长单调递增子序列的长度。

时间复杂度为O(n^2)。

### 回答2：
最长单调递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是一道经典的动态规划问题，可以使用O(n2)或O(nlogn)的方法求解。

以下是一个O(n2)的DP算法：

设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长单调递增子序列的长度，初始化dp[i]=1（因为以第i个元素结尾的最短递增序列长度为1）。

对于每个j<i，如果nums[j]<nums[i]，说明第j个元素可以接在第i个元素后面构成递增序列，此时更新dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

最后遍历dp数组，找到最大值即可。

具体实现如下：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n=nums.size(),res=1;
vector<int> dp(n,1);
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(nums[j]<nums[i])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
res=max(res,dp[i]);
}
return res;
}

该算法时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(n)。

### 回答3：
一、问题分析

题目要求我们设计一个o(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

首先我们需要明确，什么是子序列？什么是最长单调递增子序列？

1. 子序列：在给定序列中，选择任意数量的数字进行排列组合，而这些数字按照原始序列中的顺序，组成的新序列称为原序列的子序列。

2. 最长单调递增子序列：在原序列中找到一组连续的元素，使得它们按原序列的顺序从小到大排列，并且满足长度最长。

我们需要设计的算法，即为找出给定序列的最长单调递增子序列。

二、算法设计

1. 定义状态

我们定义状态数组dp[i]为以第i个元素作为结尾的最长递增子序列长度。

2. 初始化

对状态数组进行初始化，将dp[i]置为1，因为我们可以将每个元素看做是一个长度为1的递增子序列。

3. 状态转移方程

对于下标i和j，若i<j且a[i]<a[j]，则dp[j] = max(dp[j], dp[i]+1)。

这个方程的含义是，如果第i个元素比第j个元素小，并且以第i个元素为结尾的最长递增子序列加上第j个元素的话，能够得到以第j个元素结尾的递增子序列的长度，则将dp[j]更新为dp[i]+1。

在这个过程中，我们会从前往后逐个计算状态，并且在每次计算dp[j]时，都需要通过遍历0~j-1来计算其值，所以时间复杂度为o(n2)。

4. 计算最长单调递增子序列长度

对状态数组进行遍历，找出其中的最大值即为给定序列的最长单调递增子序列长度。同时，我们也可以通过倒推出具体的递增子序列内容。

三、算法实现

下面是算法的具体实现：

def longestIncreasingSubsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for j in range(n):
        for i in range(j):
            if nums[i] < nums[j]:
                dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1)

    return max(dp), getSubsequence(nums, dp)

def getSubsequence(nums, dp):
    n = len(nums)
    length = max(dp)
    index = dp.index(length)
    subsequence = [nums[index]]

    while length > 1:
        for i in range(index-1, -1, -1):
            if nums[i] < nums[index] and dp[i] == length-1:
                subsequence.append(nums[i])
                index = i
                length -= 1
                break

    return subsequence[::-1]

四、总结

最长单调递增子序列问题可以通过动态规划的方式来解决，时间复杂度为o(n2)。在实际应用中，我们可以使用这个算法来解决一些子问题，比如求解二维点集中的最大递增子集合。

设计一个o(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

### 回答1：
这里是一个O(n^2)时间复杂度的动态规划算法，用于找出长度为n的序列中的最长单调递增子序列。

定义一个长度为n的数组dp，其中dp[i]表示以序列中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。初始时，将dp数组的所有值都初始化为1，因为最长递增子序列至少包含自己一个元素。

然后，我们可以使用两个嵌套循环来遍历序列中的所有元素，使用一个指针j来指向当前元素之前的所有元素，检查dp[j]是否小于dp[i]，且第j个元素小于第i个元素，如果是这样，那么我们可以更新dp[i]为dp[j]+1，因为这意味着我们可以在以j结尾的最长递增子序列的末尾添加第i个元素。

最终，最长递增子序列的长度就是dp数组中的最大值。

下面是算法的Python代码实现：

def longest_increasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，因为我们使用了两个嵌套循环来遍历整个序列，对于每个元素，我们需要比较它之前的所有元素，这需要O(n)的时间复杂度，因此总时间复杂度为O(n^2)。

### 回答2：
最长单调递增子序列问题，是指在一个无序序列中寻找一个子序列，使得这个子序列的元素是递增的，且这个子序列的长度尽可能地长。设原始序列长度为n，则最长单调递增子序列的长度为m（1≤m≤n）。

一般来说，我们可以使用一个dp数组来进行状态转移。其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长单调上升子序列的长度。初始状态时，dp[i]都应该为1，因为每个元素本身就构成一个长度为1的上升子序列。

在状态转移中，需要判断在前i-1个元素中是否存在比第i个元素更小的元素j，如果存在，则dp[i]可以由dp[j]转移得到（加一个1）。

因为需要比较前i-1个元素，所以最基本的暴力方法时间复杂度为O(n^2)。具体来说，可以使用两层嵌套循环，第一层枚举以哪个元素为结尾，第二层枚举前i-1个元素中的最后一个元素，看是否小于第i个元素。

以下是伪代码：

初始化：dp[i] = 1，其中 1≤i≤n
for i in (1,n) do
for j in (1,i-1) do
if a[j] < a[i] then
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)

实际上，我们还可以结合一些技巧来进行优化，把时间复杂度进一步降低为O(nlogn)。这需要借助其他算法，例如二分查找和贪心思想。因为这些技巧已经超过题目所限，本回答不再深入探讨。

### 回答3：
问题描述：

有一个由n个数字组成的序列，求该序列的最长单调递增子序列。

解决方案：

此问题的最优解已知是 O(nlogn) 时间复杂度，使用动态规划和二分查找。

本文介绍一个 O(n^2) 时间的动态规划算法。

算法基本思路：

首先定义 dp[i] 为以第 i 个数字为结尾的最长单调递增子序列长度。初始值都为 1，即每个数字本身都是一个长度为1的递增子序列。

接着，从序列第二个数字开始遍历，枚举其前面每一个数字 j，如果该数字比当前数字小则说明它可以接在 j 后面形成一个更长的递增子序列，此时可以将 dp[i] 更新为 dp[j]+1。依次遍历，找出所有以 i 结尾的递增子序列中最长的长度，即为答案。

算法伪代码：

1. 定义 dp[i] 为以第 i 个数字为结尾的最长单调递增子序列长度，初始值都为 1
2. 从第二个数字开始遍历，枚举当前数字 i
a. 依次枚举 i 前面的数字 j，如果 nums[i]>nums[j] 则更新 dp[i]=dp[j]+1
3. 遍历 dp 数组，找出其中最大的长度，即为答案

算法复杂度：

时间复杂度：O(n^2)，需要遍历序列中的每个数字，并依次枚举其前面的数字，所以时间复杂度是 O(n^2)。

空间复杂度：O(n)，需要存储 dp 数组。

参考代码（Python）：

def LIS(nums):
n = len(nums)
dp = [1 for _ in range(n)]
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
return max(dp)

nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
print(LIS(nums)) # expect 4