设计一个算法，找出一个由n个数 组成的序列的最长单调递增子序列的长度。

这个问题可以用动态规划算法求解。

我们可以用dp[i]表示以第i个数结尾的最长递增子序列的长度。初始化dp[i]为1，因为一个数本身也可以构成一个长度为1的递增子序列。

对于每个i，从1到i-1遍历，如果nums[i]大于nums[j]，则说明nums[i]可以接在nums[j]后面，构成一个更长的递增子序列。此时更新dp[i]，dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。

最终的结果就是dp数组中的最大值，即最长递增子序列的长度。

下面是Python的实现代码：

def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

相关问题

找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列

### 回答1：
最长单调递增子序列问题是指在一个序列中找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是单调递增的。对于由n个数组成的序列，可以使用动态规划算法来解决最长单调递增子序列问题。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长单调递增子序列的长度。

2. 初始化状态：dp[i]的初始值为1，因为以第i个元素结尾的最长单调递增子序列至少包含它本身。

3. 状态转移方程：对于第i个元素，遍历前面的元素j（j<i），如果a[j]<a[i]，则dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)，即以第i个元素结尾的最长单调递增子序列长度为前面所有小于它的元素中最长的子序列长度加1。

4. 最终结果：遍历dp数组，找到最大值即为最长单调递增子序列的长度。

例如，对于序列{5,3,4,8,6,7}，其最长单调递增子序列为{3,4,6,7}，长度为4。

### 回答2：
动态规划算法是解决最长单调递增子序列的一种有效方法。给定一个由n个数字组成的序列P[1],P[2],……,P[n]，我们可以将其拆分成许多长度小于等于n的子序列。这些子序列中的最长单调递增子序列即为原序列的最长单调递增子序列（注意这里的子序列不要求连续）。

我们设D[i]为以P[i]为结尾的最长单调递增子序列的长度，则对于所有的j（1<=j<i），如果P[j]<P[i]，那么有：

D[i] = max(D[i], D[j]+1)

初始时，D[i]均初始化为1，表示以每个元素为结尾的最长单调递增子序列长度默认为1。从D[1]到D[n]依次计算即可得到整个序列的最长单调递增子序列长度。

接下来，我们以一个长度为10的序列为例进行演示：

设P[1]=5, P[2]=1, P[3]=4, P[4]=2, P[5]=3, P[6]=9, P[7]=7, P[8]=6, P[9]=8, P[10]=10。

首先，初始化D数组，将其所有元素设为1：

D[1]=1, D[2]=1, D[3]=1, D[4]=1, D[5]=1, D[6]=1, D[7]=1, D[8]=1, D[9]=1, D[10]=1。

从i=2开始，依次计算D[2]到D[10]：

D[2] = max(D[2], D[1]+1) = 2
D[3] = max(D[3], max(D[1], D[2])+1) = 2
D[4] = max(D[4], max(D[1], D[2], D[3])+1) = 2
D[5] = max(D[5], max(D[1], D[2], D[3], D[4])+1) = 3
D[6] = max(D[6], max(D[1], D[2], D[3], D[4], D[5])+1) = 4
D[7] = max(D[7], max(D[1], D[2], D[3], D[4], D[5])+1) = 4
D[8] = max(D[8], max(D[1], D[2], D[3], D[4], D[5], D[7])+1) = 4
D[9] = max(D[9], max(D[1], D[2], D[3], D[4], D[5], D[6], D[7], D[8])+1) = 5
D[10] = max(D[10], max(D[1], D[2], D[3], D[4], D[5], D[6], D[7], D[8], D[9])+1) = 6

最终D数组为 D=[1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6]，它的最大值即为原序列的最长单调递增子序列长度为6，它可以对应的子序列为[1, 4, 5, 6, 8, 10]。

### 回答3：
最长单调递增子序列问题（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是一个经典的计算机科学问题，它的解法有很多种。其中比较常见的是动态规划算法和贪心算法。

动态规划算法的思路是构建一个数组dp来存储以每个数字结尾的最长单调递增子序列的长度。具体来说，假设我们已经求出了前i-1个数字结尾的最长单调递增子序列的长度dp[1]、dp[2]、……dp[i-1]，那么我们可以考虑把第i个数字加入进去，看看是否能够延长截止到i的最长单调递增子序列。因此我们需要从前面的数字中找出所有小于第i个数字的数字，计算出以这些数字结尾的最长单调递增子序列的长度，然后把这些长度加1，取其中的最大值即可。具体的表达式可以写为：

dp[i] = max{dp[j] + 1 | j < i && a[j] < a[i]}

其中a表示原始序列，dp数组的初始值都为1，表示每个数字本身构成一个长度为1的单调递增子序列。最终的结果即为dp数组中的最大值。

贪心算法的思路则是利用二分查找来维护一个目前为止最长的单调递增子序列。具体来说，我们从左到右遍历原始序列，然后维护一个数组d，记录目前为止已经找到的最长单调递增子序列。假设我们已经找到了前i-1个数字的最长单调递增子序列d[1]、d[2]、……d[k]，并且d[k]是目前为止的最大值，那么我们可以把第i个数字插入进去。如果a[i]大于d[k]，则可以直接把a[i]加到数组后面，因为它可以延长已有的最长单调递增子序列。否则，我们可以使用二分查找找到满足d[j] < a[i]的最大位置j，然后把a[i]插入到d[j+1]的位置上。因为d[j+1]是目前为止长度为j+1的单调递增子序列的末尾，所以插入a[i]以后，仍然是长度为j+2的单调递增子序列的末尾。

根据以上两种算法，我们可以解决由n个数组成的序列的最长单调递增子序列问题。不同的算法具有不同的时间和空间复杂度，选择合适的算法可以在保证正确性的前提下，提高计算效率。

设计一On2时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列

可以使用动态规划的思想来解决这个问题。具体来说，设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长单调递增子序列的长度，则有以下状态转移方程：

dp[i] = max{dp[j] + 1}，其中j < i且a[j] < a[i]

其中，a[i]表示第i个元素的值。这个方程的意义是，在前i个元素中，如果a[j] < a[i]，那么可以在以j结尾的最长单调递增子序列的末尾加上a[i]，从而得到以i结尾的最长单调递增子序列。

最后，最长单调递增子序列的长度就是dp数组中的最大值。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度也为O(n)。

以下是一个示例代码实现：

int longestIncreasingSubsequence(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> dp(n, 1);
    int res = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        res = max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}