求1/(z^2-1)在|z|>1时的洛朗级数展开

我们可以将1/(z^2-1)拆分成两个部分：

1/(z+1)(z-1)

对于|z|>1，我们可以使用幂级数展开：

1/(z+1) = -1/(1+z) = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n

1/(z-1) = 1/(1-(1-z)) = \sum_{n=0}^{\infty} (1-z)^n

将以上两个展开式代入原式，得到：

1/(z^2-1) = (-\sum_{n=0}^{\infty} z^n) - (\sum_{n=0}^{\infty} (1-z)^n)

= -\sum_{n=0}^{\infty} z^n - \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1} (-z)^n

= -\sum_{n=0}^{\infty} (1+\binom{n+1}{1})z^n

因此，1/(z^2-1)在|z|>1时的洛朗级数展开为：

\sum_{n=0}^{\infty} -(1+\binom{n+1}{1})z^n