对(x-2)/x^2-7x+12积分
时间: 2024-02-18 16:04:52 浏览: 17
可以将分母分解为 (x-3)(x-4),然后将分式拆分为两个部分:
```
(x-2) / ((x-3)(x-4)) = A/(x-3) + B/(x-4)
```
通过通分并比较系数,可以求得 A=-2,B=4。于是原式可以拆分为两个部分的和:
```
∫(x-2) / (x^2-7x+12) dx = ∫(-2/(x-3) + 4/(x-4)) dx
```
然后对每个部分进行积分,得到:
```
∫(-2/(x-3) + 4/(x-4)) dx = -2ln|x-3| + 4ln|x-4| + C
```
其中 C 为积分常数。因此,原式的积分结果是 -2ln|x-3| + 4ln|x-4| + C。
相关问题
-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x) + C从0到正无穷的积分
首先,将该积分拆分成两个部分,即:
∫(-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x))dx = ∫-4xe^(-1/4x)dx - ∫16e^(-1/4x)dx
对于第一个积分,我们可以使用分部积分法。设 u = -4x,dv = e^(-1/4x)dx,则 du/dx = -4,v = -4e^(-1/4x),则有:
∫-4xe^(-1/4x)dx = (-4x)(-4e^(-1/4x)) - ∫-4e^(-1/4x)(-4)dx
= 16xe^(-1/4x) + 16e^(-1/4x) + C1
对于第二个积分,我们可以使用换元法。令 u = -1/4x,则 du/dx = -1/4,dx = -4du,于是有:
∫16e^(-1/4x)dx = -64∫e^udu
= -64e^(-1/4x) + C2
将两个积分的结果合并,得到:
∫(-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x))dx = 16xe^(-1/4x) + 16e^(-1/4x) - 64e^(-1/4x) + C
= 16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x) + C
最后,对该积分在区间 [0, +∞) 上进行计算,即取极限:
lim(x->+∞) [16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x)] - [16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x)] = -48
因此,原积分的结果为 -48。
(sinx)^2/(x+e^2)积分
这个积分需要进行换元和分部积分。
首先,我们进行换元,令u=sin(x),则du/dx=cos(x),dx=du/cos(x)。
将x代入原式中,得到:
∫(sin(x))^2/(x+e^2)dx = ∫u^2/(arcsin(u)+e^2) * du/cos(x)
接下来,我们进行分部积分,令v=arcsin(u),则dv/du=1/√(1-u^2),du/dv=√(1-v^2),
∫u^2/(arcsin(u)+e^2) * du/cos(x) = ∫u^2/(v+e^2) * du/dv * dv/cos(x)
= ∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/cos(x)
现在,我们需要对右侧的积分进行化简,将cos(x)用v和u表示出来。由于cos(x)=√(1-sin^2(x)),因此cos(x)=√(1-u^2)。又因为u=sin(x),所以sin^2(x)=u^2,从而得到cos(x)=√(1-u^2)。
代入原式,得到:
∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/cos(x) = ∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/√(1-u^2)
= ∫u^2/((v+e^2) * √(1-u^2)) * √(1-v^2)dv
现在,我们需要再次进行换元,令w=cos(v),则dw/dv=-sin(v),dv/dw=1/(-sin(v))=-1/√(1-w^2)。
将v代入原式中,得到:
∫u^2/((v+e^2) * √(1-u^2)) * √(1-v^2)dv = -∫u^2/((arccos(w)+e^2) * √(1-u^2))dw
现在,我们可以对右侧的积分进行求解。将w代入原式,得到:
-∫u^2/((arccos(w)+e^2) * √(1-u^2))dw = -∫u^2/((π/2-arcsin(w)+e^2) * √(1-u^2))dw
令z=π/2-arcsin(w),则dz/dw=-1/√(1-w^2),dw/dz=-√(1-w^2)。
将w代入原式中,得到:
-∫u^2/((π/2-arcsin(w)+e^2) * √(1-u^2))dw = -∫u^2/((z+e^2) * √(1-u^2))dw/dz
= -∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz
现在,我们需要对右侧的积分进行求解。首先,我们需要将u^2/(z+e^2)拆分成两个部分,即u^2和1/(z+e^2),然后对1/(z+e^2)进行分部积分。
令y=z+e^2,则dy/dz=1,dz/dy=1。
∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz = ∫u^2/y * √(1-u^2)dy
= u^2 * ∫1/y * √(1-u^2)dy - ∫(d/dy(u^2)) * ∫1/y * √(1-u^2)dy dy
= u^2 * arcsin(1/y) - ∫2u/(y * √(1-u^2)) * arcsin(1/y)dy
= u^2 * arcsin(1/(z+e^2)) - 2 * ∫u/(z+e^2) * arcsin(1/(z+e^2))dz
将z=π/2-arcsin(w)代入,得到:
-∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz = -u^2 * arcsin(cos(arcsin(w)) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(w)+e^2) * arcsin(cos(arcsin(w)) + e^2)dw
= -u^2 * arcsin(√(1-w^2) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(w)+e^2) * arcsin(√(1-w^2) + e^2)dw
最终,我们得到原式的解为:
- u^2 * arcsin(√(1-sin^2(x)) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(sin(x))+e^2) * arcsin(√(1-sin^2(x)) + e^2)dw
其中,u=sin(x),w=cos(v),v=arcsin(u),z=π/2-arcsin(w),y=z+e^2,dy/dz=1,dz/dy=1。