带权无向图的最小生成树究竟是不是唯一的？

带权无向图的最小生成树通常是指图中所有顶点之间边权之和最小的树。根据Prim算法（Prim's algorithm）或Kruskal算法（Kruskal's algorithm），可以得到两个不同的方法来找到这样的树。在Prim算法中，从一个初始顶点开始，逐步添加与其未连接的边中权重最小的边，直到形成一棵树并包含所有顶点。而Kruskal算法则是从小到大排序所有的边，然后依次加入不形成环的边。

这两种方法理论上都能找到最小生成树，但是它们得到的结果并不是唯一的，因为存在两种不同的边添加顺序可能导致不同的结果。例如，Prim算法可能先选择一条边，而Kruskal算法可能先选择另一条。然而，无论哪种算法，它们保证找到的都是最小生成树，因为它们都遵循了边的权重从小到大的原则。

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求解带权无向图最小生成树的代码

以下是基于Kruskal算法的求解带权无向图最小生成树的代码（使用C++语言实现）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 10010;

struct Edge{
    int u, v, w;
}e[MAXN];

int fa[MAXN];

int n, m;

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

int kruskal() {
    sort(e + 1, e + 1 + m, [](Edge x, Edge y) {
        return x.w < y.w;
    });
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    int cnt = 0, res = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;
        int fa_u = find(u), fa_v = find(v);
        if(fa_u == fa_v) continue;
        fa[fa_u] = fa_v;
        res += w;
        cnt++;
        if(cnt == n - 1) break;
    }
    if(cnt != n - 1) return -1;
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        e[i] = {u, v, w};
    }
    int ans = kruskal();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

希望能够帮助到你！

计算带权无向图的最小生成树

带权无向图的最小生成树可以使用 Kruskal 算法或 Prim 算法来计算。

Kruskal 算法的基本思想是先将所有边按权值从小到大排序，然后逐步将边加入最小生成树中，如果加入某条边会形成环，则不加入该边。具体实现中，可以使用并查集来判断是否形成环。

Prim 算法的基本思想是从一个任意节点开始，逐步扩展生成树，每次将与当前最小生成树相邻的权值最小的边加入最小生成树，直到所有的节点都被加入为止。具体实现中，可以使用堆来维护当前与 MST 相邻的边中权值最小的边。

两种算法的时间复杂度均为 O(E log E) 或 O(E log V)，其中 E 表示边数，V 表示节点数。具体选择哪种算法可以根据实际情况进行决定。

下面是使用 Prim 算法计算带权无向图最小生成树的代码示例：

import heapq

def prim(graph):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    mst = []
    heap = []
    
    # 从节点0开始，将其加入最小生成树集合
    visited[0] = True
    for j in range(n):
        if graph[0][j] != 0:
            heapq.heappush(heap, (graph[0][j], 0, j))
    
    # 遍历所有节点
    while len(mst) < n-1 and heap:
        # 找到当前最小边
        w, u, v = heapq.heappop(heap)
        if visited[u] and visited[v]:
            continue
        # 将其加入最小生成树
        mst.append((u, v, w))
        # 将与新节点相邻的边加入堆中
        if not visited[u]:
            visited[u] = True
            for j in range(n):
                if graph[u][j] != 0:
                    heapq.heappush(heap, (graph[u][j], u, j))
        if not visited[v]:
            visited[v] = True
            for j in range(n):
                if graph[v][j] != 0:
                    heapq.heappush(heap, (graph[v][j], v, j))
    
    return mst

在这段代码中，我们使用了 Python 内置的 heapq 模块来实现堆的功能，其中 heap 列表用于存储当前与最小生成树相邻的边。在遍历过程中，我们不断从 heap 中取出权值最小的边，将其加入最小生成树中，并将其相邻的边加入 heap 中。在加入新的边时，我们需要判断其连接的两个节点是否已经在最小生成树集合中，以避免出现环的情况。

希望对你有所帮助！