求解d=5^-1(mod 24)

我们可以使用扩展欧几里得算法来求解 $d$，具体步骤如下：

首先，我们需要找到 $5$ 在模 $24$ 意义下的逆元，也就是满足 $5d \equiv 1 \pmod{24}$ 的整数 $d$。

根据扩展欧几里得算法，我们可以从以下递归式开始：

$$
\begin{aligned}
\gcd(24, 5) &= \gcd(5, 24 \bmod 5) \\
&= \gcd(5, 4) \\
&= \gcd(4, 5 \bmod 4) \\
&= \gcd(4, 1) \\
&= 1
\end{aligned}
$$

在这个过程中，我们维护了两个数 $a$ 和 $b$，它们在每一步中都满足 $\gcd(a, b) = \gcd(24, 5)$。我们还维护了两个系数 $x$ 和 $y$，它们满足贝祖等式 $ax + by = \gcd(a, b)$。初始时，我们有 $a = 24$，$b = 5$，$x_0 = 1$，$y_0 = 0$。

接下来，我们按照以下递归式计算 $x$ 和 $y$：

$$
\begin{aligned}
x_{i+1} &= x_{i-1} - \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor x_i \\
y_{i+1} &= y_{i-1} - \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor y_i
\end{aligned}
$$

在每一步中，我们都将 $a$ 和 $b$ 交换，并且计算出它们的模 $b$ 的余数，即 $a \leftarrow b$，$b \leftarrow a \bmod b$。最后，当 $b = 1$ 时，我们就可以得到 $d = y_1$，满足 $5d \equiv 1 \pmod{24}$。

具体地，我们有：

$$
\begin{aligned}
x_1 &= 0 - \left\lfloor \frac{24}{5} \right\rfloor \cdot 1 = -4 \\
y_1 &= 1 - \left\lfloor \frac{24}{5} \right\rfloor \cdot 0 = 1
\end{aligned}
$$

因此，$d = y_1 = 1$，满足 $5d \equiv 1 \pmod{24}$。所以 $d = 1$ 是 $5$ 在模 $24$ 意义下的逆元。