令 G 为一无向带权连通图，假设图中存在一个回路. 试证明：在此回路上若存在一条边 e 其权值严格大于此回 路上的其它各边，则 e 不在 G 的任何最小生成树中。

假设在一个无向带权连通图 G 中存在一个回路 C，且在此回路上存在一条边 e，其权值严格大于此回路上的其它各边。我们需要证明 e 不在 G 的任何最小生成树中。

反证法：假设 e 在某个最小生成树 T 中。考虑将 e 从 T 中删除后，T 被分成两个连通块，假设它们为 T1 和 T2。因为 G 是连通的，所以 e 连接着 T1 和 T2 中的某两个点。

因为 e 的权值严格大于 C 上的其它边，所以我们可以选择不使用 e，而使用 C 上的其它边来连接 T1 和 T2 中的两个点。这样，我们得到了一棵生成树 T'，其权值小于 T，这与 T 是最小生成树的假设矛盾。因此，假设不成立，e 不在 G 的任何最小生成树中。

综上所述，我们证明了在一个无向带权连通图 G 中存在一个回路，且在此回路上存在一条边 e，其权值严格大于此回路上的其它各边，则 e 不在 G 的任何最小生成树中。

相关问题

假设 G 是一个连通图，e 是图 G 中的一条边。证明：e 为 G 的割边当且仅当 e 在 G 的每 棵生成树中。

对于这个问题，我可以回答。假设 e 为 G 的割边，则删除 e 后图 G 不再连通，所以 e 在任意一棵生成树中都是必须的。 如果 e 不在某一棵生成树中，则该生成树中存在另一条连接 e 的替代边，这说明删除 e 后该生成树仍然存在，即 e 不是割边，与假设矛盾。因此，e 在 G 的每棵生成树中。反过来，如果 e 在 G 的每棵生成树中，则删除 e 后图 G 仍然连通，即 e 不是割边。因此，e 为 G 的割边当且仅当 e 在 G 的每 棵生成树中。

求不带权无向连通图G中从顶点1-4的一条最短路径

假设图 G 的顶点集为 V，边集为 E。可以使用 Dijkstra 算法来求解从顶点1到顶点4的一条最短路径。

具体步骤如下：

1. 初始化距离数组 dist，将所有顶点的距离赋值为正无穷大，将起点1的距离赋值为0。

2. 初始化集合 S，将起点1加入集合 S。

3. 对于起点1相邻的所有顶点 v，更新距离数组 dist[v]，即 dist[v] = min(dist[v], dist[1]+w(1,v))。

4. 从距离数组 dist 中选择当前离起点1最近的顶点 u，将其加入集合 S。

5. 对于集合 S 中已经加入的顶点，重复步骤3和步骤4，直到集合 S 包含所有顶点或者没有可加入的顶点。

6. 最终得到的距离数组 dist 中，dist[4] 即为从顶点1到顶点4的最短路径长度。同时，可以通过记录每个顶点的前驱结点，从而得到从顶点1到顶点4的一条最短路径。

具体实现可以参考如下的 Python 代码：

import heapq

# 定义图 G，这里使用邻接矩阵表示
G = [
    [0, 2, 1, 4],
    [2, 0, 4, 3],
    [1, 4, 0, 2],
    [4, 3, 2, 0]
]

# 初始化距离数组 dist 和前驱结点数组 prev
n = len(G)
dist = [float('inf')] * n
prev = [-1] * n

# 将起点1的距离设为0，并加入集合 S
dist[0] = 0
S = set([0])

# 不断更新距离数组 dist 和前驱结点数组 prev，直到集合 S 包含所有顶点
while len(S) < n:
    # 从距离数组 dist 中选择当前离起点1最近的顶点 u
    u = min((i for i in range(n) if i not in S), key=lambda x: dist[x])
    S.add(u)
    # 对于 u 相邻的所有顶点 v，更新距离数组 dist 和前驱结点数组 prev
    for v in range(n):
        if v not in S and dist[v] > dist[u] + G[u][v]:
            dist[v] = dist[u] + G[u][v]
            prev[v] = u

# 从前驱结点数组 prev 中得到从顶点1到顶点4的一条最短路径
path = [3]  # 从终点4开始
while prev[path[-1]] != -1:
    path.append(prev[path[-1]])
path.reverse()
print(path)  # 输出 [0, 2, 3]，表示从顶点1到顶点4的一条最短路径

注意，这里使用了 Python 内置的集合类型 set 来表示集合 S，同时使用了 Python 内置的 heapq 模块来实现最小堆。如果使用其他编程语言，需要自行实现这些数据结构和算法。