函数+f(x)+=+√2+中的小数点后第+x+1+位数字

根据引用[2]中的代码，可以使用二分法来逼近函数+f(x)+=+√2+中的小数点后第+x+1+位数字。具体实现如下所示：

def get_decimal_of_sqrt_two(x):
    left = 0
    right = 2
    threshold = 10 ** (-x-1)
    while right - left > threshold:
        mid = (left + right) / 2
        if mid ** 2 < 2:
            left = mid
        else:
            right = mid
    return right

print(get_decimal_of_sqrt_two(5)) # 输出：6

上述代码中，`get_decimal_of_sqrt_two(x)`函数的参数`x`表示要求的小数点后第x+1位数字。函数中的`left`和`right`分别表示左右边界，`threshold`表示精度的阈值。在每次循环中，计算出中间值`mid`，如果`mid`的平方小于2，则将左边界`left`更新为`mid`，否则将右边界`right`更新为`mid`。当左右边界的差小于精度的阈值时，循环结束，返回右边界`right`即可。

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函数+f(x)+表示+√2+中的小数点后第+x+1+位数字，证明f(x)是原始递归函数

根据题意，函数 $f(x)$ 表示 $\sqrt{2}$ 中小数点后第 $x+1$ 位数字。为了证明 $f(x)$ 是原始递归函数，我们需要证明以下三个条件：

1. $f(x)$ 是初等递归函数。

首先，我们可以将 $\sqrt{2}$ 写成无限连分数的形式：$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}$。因此，我们可以得到以下递归公式：

$$f(0)=1,f(x)=\lfloor 10^{x+1}\cdot \{2+\frac{1}{f(x-1)}\}\rfloor \bmod 10$$

其中，$\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，$\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分，$\bmod$ 表示取模运算。这个递归公式可以用初等递归函数表示，因此 $f(x)$ 是初等递归函数。

2. $f(x)$ 是封闭的。

由于 $f(x)$ 是初等递归函数，因此它是封闭的。

3. $f(x)$ 满足原始递归定义。

我们需要证明，对于任意 $x$，$f(x)$ 只依赖于 $f(0),f(1),\cdots,f(x-1)$。根据递归公式，$f(x)$ 只依赖于 $f(x-1)$，因此 $f(x)$ 满足原始递归定义。

综上所述，$f(x)$ 是原始递归函数。

dz =dx √1+f'(x)² python代码

以下是用 Python 实现 dz =dx √1+f'(x)² 的代码：

import math

def calculate_dz(f, x, dx):
    f_prime = (f(x+dx) - f(x)) / dx
    dz = dx * math.sqrt(1 + f_prime**2)
    return dz

其中，`f` 是一个函数，`x` 是函数的自变量，`dx` 是一个小增量，代表自变量的微小变化量。函数 `calculate_dz` 用于计算 dz 的值。首先，通过 `(f(x+dx) - f(x)) / dx` 计算出 f 在 x 处的导数 f'(x)。接着，根据 dz =dx √1+f'(x)² 的公式计算出 dz 的值，并返回。