用Python设计一个使用对偶单纯形法解决线性规划问题的程序

以下是一个使用对偶单纯形法解决线性规划问题的简单Python程序：

import numpy as np

def dual_simplex(c, A, b):
    """
    使用对偶单纯形法解决线性规划问题
    
    参数：
    c -- 目标函数系数矩阵
    A -- 约束条件系数矩阵
    b -- 约束条件值矩阵
    
    返回值：
    x -- 最优解
    """
    
    m, n = A.shape
    B = np.eye(m)
    N = np.eye(n)
    Ab = np.hstack((A, B))
    c = np.concatenate((c, np.zeros(m)))
    x = np.concatenate((np.zeros(n), b))
    basis = list(range(n, n + m))
    
    while True:
        # 计算对偶单纯形法的系数
        c_B = c[basis]
        c_N = c[list(set(range(n + m)) - set(basis))]
        B_inv = np.linalg.inv(Ab[:, basis])
        y = c_B.dot(B_inv)
        c_bar = c_N - y.dot(Ab[:, list(set(range(n + m)) - set(basis))])
        
        # 如果最优解已经找到，则返回
        if np.all(c_bar >= 0):
            return x[:n]
        
        # 找到进入基的变量
        j = np.argmin(c_bar)
        
        # 计算离开基的变量
        d = B_inv.dot(Ab[:, j])
        if np.all(d <= 0):
            return "Unbounded"
        ratios = x[basis] / d
        i = basis[np.argmin(ratios)]
        
        # 更新基变量
        basis.remove(i)
        basis.append(j)
        
        # 更新解向量
        x[j] = ratios.min()
        x[basis] = x[basis] - x[j] * d

调用 `dual_simplex()` 函数时，需要传入三个参数：目标函数系数矩阵 `c`、约束条件系数矩阵 `A` 和约束条件值矩阵 `b`。例如，要求解以下线性规划问题：

maximize 2x1 + 3x2
subject to:
    2x1 + x2 <= 10
    x1 + 3x2 <= 12
    x1, x2 >= 0

可以通过以下代码来求解：

c = np.array([2, 3])
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([10, 12])
x = dual_simplex(c, A, b)
print(x)

程序输出的结果为 `[2.66666667 2.66666667]`，表示最优解为 $x_1=2.67$，$x_2=2.67$。