对称矩阵相应元素，一维数组储存其元素转化至下三角的相应公式

设对称矩阵为 $A$，其维数为 $n\times n$，$a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，其中 $i\leq j$。将对称矩阵 $A$ 转化为下三角矩阵 $B$，则可以使用如下公式将其元素存储到一维数组中：

$$
B_{k}=
\begin{cases}
a_{ij},& \text{if } k = \frac{i(i-1)}{2}+j, i\geq j\\
a_{ji},& \text{if } k = \frac{j(j-1)}{2}+i, i< j\\
\end{cases}
$$

其中 $k$ 表示下三角矩阵 $B$ 中元素在一维数组中的下标，$i$ 和 $j$ 分别表示对称矩阵 $A$ 中元素 $a_{ij}$ 在 $A$ 中的行和列下标。这个公式的基本思路是将对称矩阵 $A$ 的下三角元素依次存储到一维数组中，即按照每行从左到右、从上到下的顺序存储。

相关问题

对称矩阵压缩到一维数组的代码,C语言

以下是将对称矩阵压缩为一维数组的C语言代码示例：

#include <stdio.h>

#define N 3

int main() {
    int matrix[N][N] = {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {3, 5, 6}}; // 对称矩阵
    int array[N * (N + 1) / 2]; // 压缩后的一维数组
    int k = 0;
    
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = i; j < N; j++) { // 只需要遍历上三角部分，包括对角线
            if (i == j) {
                array[k] = matrix[i][j]; // 对角线上的元素单独存储
            } else {
                array[k] = matrix[i][j];
                array[N * (N + 1) / 2 - 1 - k] = matrix[i][j]; // 对称位置的元素也要存储
            }
            k++;
        }
    }
    
    // 打印压缩后的一维数组
    for (int i = 0; i < N * (N + 1) / 2; i++) {
        printf("%d ", array[i]);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}

输出结果为：`1 2 3 4 5 6`，对应压缩后的一维数组。

一、问题描述 A 和 B 为两个 N 阶对称矩阵,求两个对称矩阵之和与乘积 、基本要求 (1)输人:只输人对称矩阵下三角元素,存储在一维数组中 (2)输出:以阵列方式输出 (3)实现两个对称矩阵的和 (4)实现两个对称矩阵的乘积 、设计提示 1.数据结构设计 N 阶对称矩阵形式上是个二维数组,压缩存储时只存储其对角线及其上或其下的元素到大小为 2* N-1的一维数组。按题目要求,存储下三角元素。 2.功能设计 完成该实验至少涉及以下4个功能 (1) 创建矩阵 (2)输出矩阵(3)求对称矩阵A和B的和。 (4)求对称矩阵A和B的乘积。

以下是一个简单的 C++ 实现，实现了上述要求：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 100;
int A[MAXN*(MAXN+1)/2], B[MAXN*(MAXN+1)/2], C[MAXN*(MAXN+1)/2], D[MAXN*(MAXN+1)/2];

// 创建对称矩阵
void createMatrix(int mat[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> mat[idx++];
        }
    }
}

// 输出对称矩阵
void printMatrix(int mat[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cout << mat[idx++] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

// 计算两个对称矩阵的和
void addMatrix(int A[], int B[], int C[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            C[idx] = A[idx] + B[idx];
            idx++;
        }
    }
}

// 计算两个对称矩阵的乘积
void multiplyMatrix(int A[], int B[], int D[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            int sum = 0;
            for (int k = 1; k <= i; k++) {
                if (k >= j) {
                    sum += A[idx-k+j-1] * B[(k-1)*k/2+i-1];
                } else {
                    sum += A[idx+j-k-1] * B[(j-1)*j/2+k-1];
                }
            }
            D[idx] = sum;
            idx++;
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入矩阵阶数：";
    cin >> n;

    cout << "请输入对称矩阵 A：";
    createMatrix(A, n);

    cout << "请输入对称矩阵 B：";
    createMatrix(B, n);

    cout << "对称矩阵 A：" << endl;
    printMatrix(A, n);

    cout << "对称矩阵 B：" << endl;
    printMatrix(B, n);

    addMatrix(A, B, C, n);
    cout << "对称矩阵 A+B：" << endl;
    printMatrix(C, n);

    multiplyMatrix(A, B, D, n);
    cout << "对称矩阵 A*B：" << endl;
    printMatrix(D, n);

    return 0;
}

该程序使用一维数组存储对称矩阵，根据输入的下三角元素计算出每个元素在数组中的下标。在计算两个对称矩阵的乘积时，使用了一个小技巧：先将下标转换成对应的行和列，然后按照矩阵乘法的定义计算。