一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高?

### 回答1：
第一次落地时，球经过的距离为100米，第二次落地时，球经过的距离为100+50+50=200米，第三次落地时，球经过的距离为100+50+25+25+50+50=300米，以此类推，第10次落地时，球经过的距离为：

100+50+25+12.5+6.25+3.125+1.5625+.78125+.390625+.1953125+.1953125=299.609375米

第10次反弹的高度为100/2^10=.09765625米。

### 回答2：
此题需要用到等比数列的知识。

首先，球第一次落地的距离为100米，第二次落地的距离为100+50+50 = 200米，第三次落地的距离为100+50+50+25+25 = 250米，可以发现这个距离的规律为等比数列。

设球第一次落地后反弹的高度为h，则第二次落地前的总路程为100+h+2h，第三次落地前的总路程为100+h+2h+4h，以此类推，第n次落地前的总路程为$100+h+2h+4h+\cdots+2^{n-2}h$。

由于每次反弹后高度减半，因此第n次反弹的高度为$h \times \frac{1}{2^{n-1}}$。

所以，当n=10时，总路程为：

$100+h+2h+4h+\cdots+2^8h$

$100+(2h+4h+8h+\cdots+2^8h)$

$100+2h \times (1+2+4+\cdots+2^7)$

$100+2h \times (2^8-1)$

$100+2 \times 100 \times 255$

$51000$米

第10次反弹的高度为$h \times \frac{1}{2^{10-1}} = \frac{h}{512}$。

综上，第10次落地时，共经过51000米，第10次反弹的高度为h/512。

### 回答3：
本题可以通过数列思想进行求解。

设第n次落地时球经过的路程为S(n)，则有：

第一次落地时，S(1) = 100米
第二次落地时，S(2) = 100米 + 50米 + 50米 = 200米
第三次落地时，S(3) = 100米 + 50米 + 50米 + 25米 + 25米 = 300米
第四次落地时，S(4) = 100米 + 50米 + 50米 + 25米 + 25米 + 12.5米 + 12.5米 = 400米
……
第n次落地时，S(n) = 100米 + 50米 + 50米 + …… + 50*(1/2)^(n-2)米 + 50*(1/2)^(n-1)米

由于每次反弹后球的落地高度是原来高度的一半，所以第n次反弹的高度为100*(1/2)^(n-1)米。

因此，当第10次落地时，球经过的总路程为：

S(10) = 100米 + 50米 + 50米 + …… + 50*(1/2)^8米 + 50*(1/2)^9米

经过计算，其中50*(1/2)^8米和50*(1/2)^9米分别为0.1953125米和0.09765625米，所以有：

S(10) = 100米 + 200米 + 300米 + …… + 50*(1/2)^8米 + 50*(1/2)^9米 = 约304.6875米

第10次反弹的高度为100*(1/2)^9米，即约0.09765625米。

因此，第10次落地时，球经过的总路程为约304.6875米，第10次反弹的高度为约0.09765625米。