f(x)=x^2+3x^3+1 用求导判断奇偶性
时间: 2023-08-31 22:37:43 浏览: 47
### 回答1:
$f(x) = x^2 + 3x^3 + 1$ 的导函数为 $f'(x) = 2x + 9x^2$。
如果 $f(-x) = f(x)$,则 $f(x)$ 是偶函数;如果 $f(-x) = -f(x)$,则 $f(x)$ 是奇函数。
将 $-x$ 代入 $f(x)$ 中得到:
$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x)^3 + 1 = x^2 - 3x^3 + 1$
因此,$f(-x) \neq f(x)$,也不等于 $-f(x)$。因此,$f(x)$ 既不是偶函数也不是奇函数。
### 回答2:
要通过求导来判断函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 的奇偶性,我们首先需要求出它的导函数。
对于f(x) = x^2 + 3x^3 + 1, 求导得到f'(x) = 2x + 9x^2.
根据导函数的奇偶性定理,如果导函数在某一点x处为0,那么在该点附近,函数f(x)具有对称轴,即该点对应的x值为函数f(x)的对称轴。
要求出f'(x) = 2x + 9x^2 的零点,我们可以将其视为一元二次方程,令2x + 9x^2 = 0, 得到9x^2 + 2x = 0.
解这个方程可以使用因式分解法或者求根公式。但是观察到这个方程的左边可以进行因式分解,即x(9x + 2) = 0.
所以方程的解为x = 0 或者 x = -2/9.
因此,函数f(x)的对称轴为x = 0 和 x = -2/9.
根据对称性质,如果一个函数关于某个对称轴对称,则它是偶函数,否则是奇函数。
由于f(x)关于两个轴都不对称,所以可以得出结论,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。
综上所述,函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 既不是奇函数,也不是偶函数。
### 回答3:
根据函数的定义,f(x) = x^2 + 3x^3 + 1。在求导之前,我们需要将函数进行简单的重排,以便使用求导规则。
f(x) = x^2 + 3x^3 + 1
对x^2 求导,结果为 2x
对3x^3 求导,结果为 9x^2
对常数项1 求导,结果为 0
现在我们可以将上面的求导结果整合起来:
f'(x) = 2x + 9x^2 + 0
经过简化得到:
f'(x) = 9x^2 + 2x
根据求导结果,我们可以看出,在这个函数中,f'(x)的最高次方项的系数为9,这意味着这个函数的奇次幂的项比偶次幂的项的影响要大。
当x为正数时,f'(x) = 9x^2 + 2x > 0 ,表示函数在正数的区间上是递增的,在这个区间里函数的值不会重复。
当x为负数时,f'(x) = 9x^2 + 2x > 0 ,同样表示函数在负数的区间上也是递增的。
因此,根据求导后的结果可知,函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 既不是奇函数也不是偶函数。
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