针对凸包问题，设计分治算法，编程实现并分析性能

凸包问题是指给定平面上的一组点，求出这些点组成的凸多边形的边界。下面是一种基于分治思想的算法：

1. 对于给定的点集，选取最左边和最右边的两个点，将其连接起来得到一条直线，将点集分成两个子集，分别在这两个子集中递归地求解凸包。
2. 对于每个子集，如果子集大小为1或2，则直接返回子集作为凸包；否则，递归求解子集的凸包。
3. 将两个子集的凸包合并起来，得到整个点集的凸包。

下面是用 C++ 实现的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 定义点结构体
struct Point {
    int x, y;
};

// 比较函数，用于按照 x 坐标排序
bool cmp(const Point& p1, const Point& p2)
{
    return p1.x < p2.x;
}

// 计算两个点之间的距离
double distance(const Point& p1, const Point& p2)
{
    return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));
}

// 判断三个点的方向关系
int orientation(const Point& p1, const Point& p2, const Point& p3)
{
    int val = (p2.y - p1.y) * (p3.x - p2.x) - (p2.x - p1.x) * (p3.y - p2.y);
    if (val == 0) {
        return 0;   // 共线
    } else {
        return (val > 0) ? 1 : 2;   // 顺时针或逆时针方向
    }
}

// 寻找凸包
vector<Point> find_convex_hull(vector<Point>& points, int left, int right)
{
    vector<Point> hull;

    // 如果点集大小为1，则返回该点
    if (left == right) {
        hull.push_back(points[left]);
        return hull;
    }

    // 如果点集大小为2，则返回这两个点
    if (left + 1 == right) {
        hull.push_back(points[left]);
        hull.push_back(points[right]);
        return hull;
    }

    // 寻找中间点
    int mid = (left + right) / 2;

    // 分别递归求解左右两个子集的凸包
    vector<Point> left_hull = find_convex_hull(points, left, mid);
    vector<Point> right_hull = find_convex_hull(points, mid + 1, right);

    // 合并两个子集的凸包
    int n1 = left_hull.size();
    int n2 = right_hull.size();

    // 寻找左子集的最右边的点和右子集的最左边的点
    int leftmost = 0, rightmost = 0;
    for (int i = 0; i < n1; i++) {
        if (left_hull[i].x < left_hull[leftmost].x) {
            leftmost = i;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n2; i++) {
        if (right_hull[i].x > right_hull[rightmost].x) {
            rightmost = i;
        }
    }

    // 从左子集的最右边的点开始，按照顺时针方向将左子集和右子集的凸包合并起来
    int i = leftmost, j = rightmost;
    hull.push_back(left_hull[i]);
    while (i != (leftmost - 1 + n1) % n1 || j != (rightmost - 1 + n2) % n2) {
        if (i == (leftmost - 1 + n1) % n1) {
            j = (j + 1) % n2;
        } else if (j == (rightmost - 1 + n2) % n2) {
            i = (i + 1) % n1;
        } else if (orientation(left_hull[i], right_hull[j], left_hull[(i + 1) % n1]) == 2) {
            i = (i + 1) % n1;
        } else {
            j = (j + 1) % n2;
        }
        hull.push_back(left_hull[i]);
    }

    return hull;
}

int main()
{
    // 读入点集
    int n;
    cin >> n;
    vector<Point> points(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> points[i].x >> points[i].y;
    }

    // 按照 x 坐标排序
    sort(points.begin(), points.end(), cmp);

    // 寻找凸包
    vector<Point> hull = find_convex_hull(points, 0, n - 1);

    // 打印凸包上的点
    for (int i = 0; i < hull.size(); i++) {
        cout << hull[i].x << " " << hull[i].y << endl;
    }

    return 0;
}

在该算法中，我们首先选取最左边和最右边的两个点，将其连接起来得到一条直线，将点集分成两个子集，分别在这两个子集中递归地求解凸包。对于每个子集，如果子集大小为1或2，则直接返回子集作为凸包；否则，递归求解子集的凸包。最后，将两个子集的凸包合并起来，得到整个点集的凸包。该算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是点集大小。

在实际应用中，凸包问题常常用于计算轮廓线、寻找最远点对等。