以基函数：1,x,x^2,x^3,...,x^n为基函数，使用待定系数法确定一个n次多项式，满足过f(x_i)=y_i,i=0,1,2,...n;用matlab来写

以给定的一组点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n) 来确定一个 n 次多项式 P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0 的系数，可以使用待定系数法（也称为插值法）。在 MATLAB 中，这种操作通常通过 `polyfit` 函数来完成。

以下是 MATLAB 中的步骤：

% 定义 x 和 y 的数据点
x = [x_0, x_1, ..., x_n];
y = [y_0, y_1, ..., y_n];

% 使用 polyfit 函数求解多项式的系数
coeffs = polyfit(x, y, n);

% 现在 coeffs 就是一个向量，它的元素对应于多项式的系数：a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0

% 如果需要得到多项式表达式的形式，可以使用 polyval 函数
% 例如，多项式 P(x) 可以表示为：
% p = @(x) polyval(coeffs, x);
p = @(x) sum(coeffs(1:end).*x.^(0:n));

相关问题

arcsinx/1+x^2求积分

可以使用部分分式分解法来求解这个积分。

首先，我们对被积函数进行部分分式分解：

arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx

其中，A 和 B 是待定系数。

然后，我们对这个等式两边同时求导：

d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)

(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))

接下来，我们可以取 x = 0，得到：

(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))

1 / 2 = A + B

接着，我们可以令 x = tan(t)，得到：

arcsinx = arctan(t)

1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)

dx/dt = sec^2(t)

将 x 和 dx/dt 用 t 表示，得到：

arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))

arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)

令 t = π/4，得到：

arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)

1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4

1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))

联立前面求得的两个式子，解得：

A = (2 * sqrt(2)) / 3

B = (-π * sqrt(2)) / 12

因此，原式的积分为：

∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C

其中，C 为常数项。

求∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1)

这是一个比较复杂的积分，需要使用部分分式分解和换元法来求解。

首先，我们对分母进行因式分解：

x^2 + 1 = (x + i)(x - i)

然后，我们可以将被积函数写成如下形式：

x(cosx)^3/(x^2+1) = Ax + B/(x + i) + C/(x - i)

其中，A、B、C是待定系数。将上式通分并整理得：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (C - B)i^2 + (Bi - Ci)x]/[(x + i)(x - i)(x^2 + 1)]

由于 i^2 = -1，上式可以进一步化简为：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x]/[(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

接下来，我们需要确定待定系数 A、B、C 的值。为此，我们可以将上式两边同时乘以分母 (x^2 + 1)^2 - (2x)^2，得到：

x(cosx)^3 = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x][(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

展开并比较系数，可以得到：

A + B + C = 0
B - C = 0
2A - 2B = 1

解以上方程组，可以得到：

A = 1/4
B = 1/2
C = -3/4

因此，原积分可以化为三个部分积分：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = ∫[-1,1] (1/4)x dx + ∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx + ∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx

第一个积分很容易计算，结果为 0。对于第二个积分，我们可以做如下换元：

t = x + i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1-i,1-i]，得到：

∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx = ∫[-1-i,1-i] (1/2)/t dt = (1/2)ln(2i)

同理，对于第三个积分，我们可以做如下换元：

t = x - i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1+i,1+i]，得到：

∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx = ∫[-1+i,1+i] (-3/4)/t dt = (-3/4)ln(2i)

综上所述，原积分的值为：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = (1/2)ln(2i) - (3/4)ln(2i) = -(1/4)ln(2)