将函数f(x)=1/x(x+2)展开成x+1的幂函数
时间: 2023-09-20 14:09:20 浏览: 77
可以使用部分分式分解的方法将f(x)展开成x+1的幂函数的形式。
首先,将f(x)拆分成两个分式:f(x) = A/x + B/(x+2),其中A和B是待定系数。
然后,通过通分的方法,得到一个分母为x(x+2)的分式:f(x) = (A(x+2) + Bx)/(x(x+2))
接着,将f(x)表示成x+1的幂函数的形式,即f(x) = C/(x+1) + D(x+1),其中C和D也是待定系数。
将上述两个等式中的x+2和x分别代入后,得到以下方程组:
A + B = 0
2A + B = C
2B = D
解得:
A = -B
C = 2A
D = 4B
因此,将f(x)表示成x+1的幂函数的形式为:
f(x) = -2/(x-1) + 4/(x+1)
相关问题
将函数f(x)=1/x在x0=2展开为幂级数
我们可以使用泰勒级数公式将$f(x)$展开为幂级数:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$
首先,我们需要计算$f(x)$在$x_0=2$处的各阶导数:
$$
f(x)=\frac{1}{x},\quad f^{(1)}(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3},\quad f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4},\quad \ldots
$$
然后,将$x_0=2$代入泰勒级数公式中,得到:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$
因此,将函数$f(x)=1/x$在$x_0=2$展开为幂级数的结果为:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$
高数将x/√(1+x²)展开成x的幂级数
可以使用泰勒级数的方法求解。首先,对于函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$,我们有如下的泰勒级数展开式:
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}$$
接着,我们可以将$x/√(1+x²)$表示为$f(x^2)$的形式,即:
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(-x^2)}}=x\cdot f(-x^2)$$
然后,我们可以将$f(-x^2)$代入$f(x)$的级数展开式,得到
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-x^2)^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$$
所以$x/√(1+x²)$的幂级数展开形式为$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$。
相关推荐
![pptx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083543.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)