将函数f(x)=1/x(x+2)展开成x+1的幂函数

可以使用部分分式分解的方法将f(x)展开成x+1的幂函数的形式。

首先，将f(x)拆分成两个分式：f(x) = A/x + B/(x+2)，其中A和B是待定系数。

然后，通过通分的方法，得到一个分母为x(x+2)的分式：f(x) = (A(x+2) + Bx)/(x(x+2))

接着，将f(x)表示成x+1的幂函数的形式，即f(x) = C/(x+1) + D(x+1)，其中C和D也是待定系数。

将上述两个等式中的x+2和x分别代入后，得到以下方程组：

A + B = 0
2A + B = C
2B = D

解得：

A = -B
C = 2A
D = 4B

因此，将f(x)表示成x+1的幂函数的形式为：

f(x) = -2/(x-1) + 4/(x+1)

相关问题

将函数f（x）=1/x在x0=2展开为幂级数

我们可以使用泰勒级数公式将$f(x)$展开为幂级数：

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

首先，我们需要计算$f(x)$在$x_0=2$处的各阶导数：

$$
f(x)=\frac{1}{x},\quad f^{(1)}(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3},\quad f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4},\quad \ldots
$$

然后，将$x_0=2$代入泰勒级数公式中，得到：

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$

因此，将函数$f(x)=1/x$在$x_0=2$展开为幂级数的结果为：

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$

3.将函数f(x)=e^{-x}+ \frac {1}{1-x}展开成x的幂级数.

我们可以使用泰勒级数展开来得到函数f(x)的幂级数形式。首先，我们需要计算函数在x=0处的各阶导数：

f(x) = e^{-x} + \frac{1}{1-x}

f(0) = 1

f'(x) = -e^{-x} + \frac{1}{(1-x)^2}

f'(0) = 1

f''(x) = e^{-x} + \frac{2}{(1-x)^3}

f''(0) = 1

f'''(x) = -e^{-x} + \frac{6}{(1-x)^4}

f'''(0) = -1

由此可知，函数在x=0处的泰勒级数展开形式为：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

即：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \cdot e^{-x}

这就是函数f(x)的幂级数展开形式。