3. 证明 R = {<x, y>| |x - 8| = |y - 8|, x, y ∈ I} 为等价关系, 并确定等价类,商集
时间: 2024-05-30 20:11:35 浏览: 8
为证明 R 为等价关系,我们需要验证它满足自反性、对称性和传递性。
1. 自反性:对于任意的 x ∈ I,有 |x - 8| = |x - 8|,因此 <x, x> ∈ R,即 R 满足自反性。
2. 对称性:对于任意的 <x, y> ∈ R,有 |x - 8| = |y - 8|。由于绝对值的对称性,有 |y - 8| = |x - 8|,因此 <y, x> ∈ R,即 R 满足对称性。
3. 传递性:对于任意的 <x, y>, <y, z> ∈ R,有 |x - 8| = |y - 8| 和 |y - 8| = |z - 8|。由于绝对值的传递性,有 |x - 8| = |z - 8|,因此 <x, z> ∈ R,即 R 满足传递性。
因此,R 是一个等价关系。
接下来我们来确定等价类和商集:
对于任意的 x ∈ I,等价类 [x] = {y ∈ I | |x - 8| = |y - 8|},即所有与 x 的距离等于 8 的元素构成的集合。可以发现,等价类只有两种可能,一种是 {8},另一种是 {x, 16 - x}。因为对于任意的 x ∈ I,都有 |x - 8| = |16 - x - 8|,因此 x 和 16 - x 在同一个等价类中。因此,商集为 { {[8]}, {[1, 15]}, {[2, 14]}, {[3, 13]}, {[4, 12]}, {[5, 11]}, {[6, 10]}, {[7, 9]}, {[16]} }。
相关问题
设A = { 1, 2, …, 10 },对于A上的模3等价关系(即同余关系)R = { < x, y > | (x y)/3Z },如何证明此关系是等价关系?等价类[x]R有哪几类?
要证明此关系是等价关系,需要证明它满足自反性、对称性和传递性。
1. 自反性:对于任意的x∈A,有x-x=0,0/3=0∈Z,因此有<x,x>∈R,即任意元素都与自身等价。
2. 对称性:对于任意的x,y∈A,若<x,y>∈R,则(x-y)/3∈Z,即(y-x)/(-3)∈Z,因此有<y,x>∈R,即若x与y等价,则y也与x等价。
3. 传递性:对于任意的x,y,z∈A,若<x,y>∈R且<y,z>∈R,则(x-y)/3∈Z且(y-z)/3∈Z,因此(x-z)/3=(x-y)/3+(y-z)/3∈Z,即<x,z>∈R,即若x与y等价,y与z等价,则x与z也等价。
由此可知,该关系是等价关系。
根据模3等价关系的定义,对于任意的x∈A,它的等价类可以表示为:
- 如果x mod 3 = 0,则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 10}。
- 如果x mod 3 = 1,则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 9}。
- 如果x mod 3 = 2,则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 8}。
因此,等价类一共有3类。
设A = { 1, 2, …, 10 },对于A上的模3等价关系(即同余关系)R = { < x, y > | (x y)/3Z },如何证明此关系是等价关系?等价类[x]R有哪几类?
要证明模3同余关系是等价关系,需要满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任何x∈A,都有xRx,即x与自己同余。
2. 对称性:对于任何x, y∈A,如果xRy,则yRx,即同余关系是对称的。
3. 传递性:对于任何x, y, z∈A,如果xRy且yRz,则xRz,即同余关系是传递的。
现在我们分别来证明这三个条件:
1. 自反性:对于任何x∈A,都有x/3*0,即x与自己同余,因此自反性成立。
2. 对称性:对于任何x, y∈A,如果xRy,则x-y=3k,其中k∈Z。因为3k=(-3)(-k),所以yRx也成立,即同余关系是对称的。
3. 传递性:对于任何x, y, z∈A,如果xRy且yRz,则x-y=3k1,y-z=3k2,其中k1, k2∈Z。将两个式子相加,得到x-z=3(k1+k2),因此xRz,即同余关系是传递的。
因此,模3同余关系是等价关系。
对于等价类[x]R,它的定义是{x∈A | xRy},也就是说,它包含所有与x模3同余的元素。因此,等价类共有3个,分别是[0]R={0, 3, 6, 9},[1]R={1, 4, 7, 10},[2]R={2, 5, 8}。