$$ \xi_{AB}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i*} $$看不懂

这是一个公式，可以用数学语言来解释一下。假设有一个矩阵 $X$，其中第 $i$ 行表示第 $i$ 个样本，第 $j$ 列表示第 $j$ 个特征，那么 $\xi_{AB}$ 表示矩阵 $X$ 中第 $A$ 列和第 $B$ 列的平均关联系数，其中 $n$ 表示样本的数量，$x_{i*}$ 表示矩阵 $X$ 中第 $i$ 行的所有元素。具体地，$\xi_{AB}$ 的计算方式为：将矩阵 $X$ 中第 $A$ 列和第 $B$ 列的所有元素逐个进行比较，并计算它们的关联度，再将所有样本的关联度求平均值，即可得到 $\xi_{AB}$。

相关问题

$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$

这是一个线性规划问题。其中，$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列是否选中，$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$ 表示选中的格子数。我们需要最大化选中的格子数，同时满足一些限制条件。

限制条件如下：

1. $\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$：对于每个 $10\times 10$ 的方格中，最多只能选中一个格子。

2. $\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$：对于每个半径为 $h$ 的正方形中，最多只能选中 $(2h+1)^2$ 个格子。

3. $\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$：对于每个半径为 $2.5$ 的圆中，最多只能选中 $\pi(2.5)^2$ 个格子。

4. $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$：选中的格子的高度的方差不能超过 $\sigma^2$。

5. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$：选中的格子的高度与平均高度的差的平方和不能超过 $\delta$。

6. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$：选中的格子的高度之和不能超过 $B$。

我们可以将这个问题表示为如下的线性规划模型：

$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$

s.t.

$$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$

$$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$

$$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$

$$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$

$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$

$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$

$$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$

其中，$N$ 表示选中的格子数，$\bar{h}$ 表示选中的格子的平均高度。

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i 的期望

根据线性代数中向量内积的定义，对于一个 $d$ 维向量 $\boldsymbol{x}$，有 $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{d}x_i^2$。因此，可以将 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i$ 写成如下形式：

$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}X_{ij}^2
$$

其中，$X_{ij}$ 表示第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征。由于每个特征都是独立同分布的，因此有 $E(X_{ij}^2) = Var(X_{ij}) + (E[X_{ij}])^2$。同时，根据样本均值的定义，有 $E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{ij}) = E(X_{ij})$。因此，可以得到：

$$
E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}X_{ij}^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}(Var(X_{ij}) + (E[X_{ij}])^2) = \sum_{j=1}^{d}(Var(X_{ij}) + (E[X_{ij}])^2)
$$

因此，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i$ 的期望是每个特征的方差加上期望平方和。