证明rot（gradu）=0

我们可以使用向量分析中的标量旋度恒等式来证明这个结论。

对于任意的向量场 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，有以下标量旋度恒等式成立：

$$\nabla \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{u}) - \mathbf{u} \cdot (\nabla \times \mathbf{v})$$

现在我们将 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 分别设置为 $\mathbf{u} = \nabla u$ 和 $\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{u}$，其中 $u$ 是任意的标量场。代入上述公式得到：

$$\begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla u \times (\nabla \times \nabla u)) &= \nabla \times \nabla u \cdot (\nabla \times \nabla \times \nabla u) - \nabla u \cdot (\nabla \times (\nabla \times \nabla u)) \\ &= \nabla \times \nabla u \cdot 0 - \nabla u \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$

因为 $\nabla \times \nabla u = 0$ 对于任意的标量场 $u$ 都成立，所以上式化简为：

$$\nabla \cdot (\nabla u \times (\nabla \times \nabla u)) = 0$$

根据矢量恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \nabla^2 \mathbf{u}$，可以将上式进一步化简为：

$$\nabla \cdot (\nabla u \times (\nabla \times \nabla u)) = \nabla^2 u - (\nabla \cdot \nabla) (\nabla \cdot \nabla u) = \nabla^2 u$$

因此，我们得到了 $\nabla^2 u = 0$，这意味着任何标量场 $u$ 的旋度的散度为零。特别地，如果我们令 $u$ 为向量场 $\mathbf{u}$ 的一个分量，那么我们得到：

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{u}) = 0$$

这就是所要证明的结论，即旋度的散度为零。