证明rot(gradu)=0

要证明 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)=0$，可以使用向量分析中的标量恒等式以及矢量恒等式来完成。

首先，根据定义，$\operatorname{grad}u$ 是一个矢量场，它的每个分量都是 $u$ 对每个坐标的偏导数。因此，对于任意的标量函数 $u$，有

$$
\operatorname{grad}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k}.
$$

接下来，对 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)$ 进行计算：

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u) &= \operatorname{rot}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k}\right)\\
&=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\right)\mathbf{k}\\
&=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k}\\
&=\mathbf{0}.
\end{aligned}
$$

因此，$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)=0$ 成立。