贪心算法最小生成树最短边策略

贪心算法通常用于解决最优化问题，其中每一步都采取当前状态下的最优决策。最小生成树问题是贪心算法的一个经典示例。在最小生成树问题中，我们希望找到一个无向连通图的生成树，使得该生成树的所有边权之和最小。

最短边策略是贪心算法在解决最小生成树问题时的一种常见策略。该策略的思路是，每次选择当前图中权值最小的边，并将该边所连接的两个顶点加入生成树中。重复此过程，直到生成树包含了图中所有的顶点。这样得到的生成树是权值最小的，也被称为“Prim算法”。

具体来说，Prim算法的流程如下：

1. 选择任意一个顶点作为起始点，将其加入生成树中。

2. 找到与生成树相连的边中权值最小的边，将其所连接的顶点加入生成树中。如果该边所连接的顶点已经在生成树中，则不做处理。

3. 重复步骤2，直到生成树中包含了所有的顶点。

需要注意的是，Prim算法并不保证对于所有的连通图都能得到正确的结果，但是对于大多数实际应用场景中的图来说，其效果是非常好的。

相关问题

贪心算法最小生成树生成的例题

以下是使用Prim算法求解最小生成树的例题：

假设有一个图，其中有N个点，点与点之间的连接的花费已经给出。我们需要设计一个算法来解决这个最小生成树的问题。

输入：
- 图的顶点数N
- 图的连接花费矩阵cost[][]，其中cost[i][j]表示顶点i和顶点j之间的连接花费。如果两个顶点之间没有连接，则cost[i][j]为无穷大。

输出：
- 最小生成树的总花费

算法步骤：
1. 创建一个空的集合visited，用于存储已经访问过的顶点。
2. 选择一个起始顶点start，并将其加入visited集合。
3. 创建一个空的优先队列pq，用于存储待访问的边。将起始顶点start的所有连接边加入pq。
4. 初始化最小生成树的总花费为0。
5. 当pq不为空时，执行以下步骤：
- 从pq中取出花费最小的边edge，并将其加入最小生成树。
- 如果边edge的另一个顶点不在visited集合中，则将该顶点加入visited集合，并将该顶点的所有连接边加入pq。
- 更新最小生成树的总花费。
6. 输出最小生成树的总花费。

示例代码如下所示：

import heapq

def prim(N, cost):
    visited = set()
    start = 0
    visited.add(start)
    pq = []
    total_cost = 0

    for i in range(1, N):
        heapq.heappush(pq, (cost[start][i], start, i))

    while pq:
        c, u, v = heapq.heappop(pq)
        if v not in visited:
            visited.add(v)
            total_cost += c
            for i in range(N):
                if i not in visited:
                    heapq.heappush(pq, (cost[v][i], v, i))

    return total_cost

# 示例输入
N = 4
cost = [[0, 1, 3, 4],
        [1, 0, 2, 5],
        [3, 2, 0, 6],
        [4, 5, 6, 0]]

# 调用prim算法求解最小生成树的总花费
min_cost = prim(N, cost)
print("最小生成树的总花费为:", min_cost)

kruskal求最小生成树王晓东

Kruskal算法是一种用来求解最小生成树的贪心算法。它的基本思想是，按照边的权值从小到大的顺序选择边，并且保证所选的边不会形成环，直到选取了n-1条边为止。另外，Kruskal算法还需要使用并查集来判断两个节点是否属于同一个连通分量。

在具体的实现过程中，可以按照以下步骤进行：

1. 将图中的所有边按照权值从小到大排序。

2. 创建一个并查集，并初始化每个节点为一个独立的集合。

3. 遍历排序后的边列表，对于每一条边(u, v)，判断u和v是否属于同一个连通分量。如果不属于，则将这条边加入最小生成树中，并将u和v合并到同一个连通分量中。

4. 重复步骤3，直到最小生成树中的边数达到n-1。

通过以上步骤，就可以使用Kruskal算法求解出给定图的最小生成树。

参考资料：
引用:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639) (2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446 (3)最优比率生成树. (poj2728) (4)最小树形图(poj3164) (5)次小生成树. (6)无向图、有向图的最小环 。 引用:http://home.ustc.edu.cn/~zhuhcheng/ACM/segment_tree.pdf 。 引用:练习复杂一点，但也较常用的算法。 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖 网络流，最小费用流。 线段树. 并查集。 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp 6.博弈类算法。博弈树，二进制法等。 7.最大团，最大独立集。 8.判断点在多边形内。 差分约束系统. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先. 第三阶段： 。