贪心算法最小生成树最短边策略

贪心算法通常用于解决最优化问题，其中每一步都采取当前状态下的最优决策。最小生成树问题是贪心算法的一个经典示例。在最小生成树问题中，我们希望找到一个无向连通图的生成树，使得该生成树的所有边权之和最小。

最短边策略是贪心算法在解决最小生成树问题时的一种常见策略。该策略的思路是，每次选择当前图中权值最小的边，并将该边所连接的两个顶点加入生成树中。重复此过程，直到生成树包含了图中所有的顶点。这样得到的生成树是权值最小的，也被称为“Prim算法”。

具体来说，Prim算法的流程如下：

1. 选择任意一个顶点作为起始点，将其加入生成树中。

2. 找到与生成树相连的边中权值最小的边，将其所连接的顶点加入生成树中。如果该边所连接的顶点已经在生成树中，则不做处理。

3. 重复步骤2，直到生成树中包含了所有的顶点。

需要注意的是，Prim算法并不保证对于所有的连通图都能得到正确的结果，但是对于大多数实际应用场景中的图来说，其效果是非常好的。

相关问题

贪心算法最小生成树生成的例题

以下是使用Prim算法求解最小生成树的例题：

假设有一个图，其中有N个点，点与点之间的连接的花费已经给出。我们需要设计一个算法来解决这个最小生成树的问题。

输入：
- 图的顶点数N
- 图的连接花费矩阵cost[][]，其中cost[i][j]表示顶点i和顶点j之间的连接花费。如果两个顶点之间没有连接，则cost[i][j]为无穷大。

输出：
- 最小生成树的总花费

算法步骤：
1. 创建一个空的集合visited，用于存储已经访问过的顶点。
2. 选择一个起始顶点start，并将其加入visited集合。
3. 创建一个空的优先队列pq，用于存储待访问的边。将起始顶点start的所有连接边加入pq。
4. 初始化最小生成树的总花费为0。
5. 当pq不为空时，执行以下步骤：
- 从pq中取出花费最小的边edge，并将其加入最小生成树。
- 如果边edge的另一个顶点不在visited集合中，则将该顶点加入visited集合，并将该顶点的所有连接边加入pq。
- 更新最小生成树的总花费。
6. 输出最小生成树的总花费。

示例代码如下所示：

import heapq

def prim(N, cost):
    visited = set()
    start = 0
    visited.add(start)
    pq = []
    total_cost = 0

    for i in range(1, N):
        heapq.heappush(pq, (cost[start][i], start, i))

    while pq:
        c, u, v = heapq.heappop(pq)
        if v not in visited:
            visited.add(v)
            total_cost += c
            for i in range(N):
                if i not in visited:
                    heapq.heappush(pq, (cost[v][i], v, i))

    return total_cost

# 示例输入
N = 4
cost = [[0, 1, 3, 4],
        [1, 0, 2, 5],
        [3, 2, 0, 6],
        [4, 5, 6, 0]]

# 调用prim算法求解最小生成树的总花费
min_cost = prim(N, cost)
print("最小生成树的总花费为:", min_cost)

kruskal最小生成树图解

Kruskal算法是一种用于寻找无向加权图中最小生成树的贪心算法。下面是图解步骤：

1. **排序边**：首先，按照边的权重（权值为非负）对所有边进行排序，从小到大排列。

2. **初始化集合**：将所有的顶点初始化为独立的集合，每个顶点表示为一个单独的集合。

3. **选取边**：从排序后的边开始，依次考虑每一条边。对于每条边 `(u, v)`：

a. **检查连接**：如果这条边连接的两个顶点 `u` 和 `v` 当前属于不同的集合（即它们所在的集合不同），则合并这两个集合，并将这条边添加到最小生成树中。

4. **重复步骤3**：继续这一过程，直到添加了足够数量的边来连接所有的顶点（生成了一棵树，且没有形成环）。此时的树就是所求的最小生成树。