已知某企业的生产函数为Q=L**(2/3)K**(1/3),劳动的价格 W=2,资本的价格r=1。求: (1)当成本C=3 000时,企业实现最大产量时的L、K 和Q的均衡值。 (2)当产量Q=2 000时,企业实现最小成本时的L、K 和C的均衡值。 (3)请判断该函数的规模报酬性质或类别。 (4) 若在短期,资本数量固定,劳动数量变动,劳动是否呈现边际报酬递减?
时间: 2023-06-25 22:02:21 浏览: 270
(1) 在成本C=3 000时,企业实现最大产量时,成本最小化的条件为,单位成本等于平均成本,即MC=AC。由生产函数可得,MC=W*(K/L)^(1/3),AC=C/Q。将MC和AC带入式子中,可得:
W*(K/L)^(1/3)=C/Q
W=2,C=3 000,代入上式,可得
(K/L)^(1/3)=3/1000
解得K/L=27.0
又因为Q=L^(2/3)K^(1/3),将K/L=27.0代入式子,可得
Q=27^(1/3)L^(2/3)27^(1/3)=81L^(2/3)
要求实现最大产量时的均衡值,需要求得L和K,将K/L=27.0代入生产函数,可得:
Q=L^(2/3)*(27.0L)^(1/3)=3L
将Q=81L^(2/3)带入上式,可得:
81L^(2/3)=3L
解得L=27, K=(27^3)/27=729
因此,企业实现最大产量时,L=27,K=729,Q=81*27^(2/3)。
(2) 当产量Q=2 000时,企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。最小化成本的条件为,边际成本等于平均成本,即MC=AC。由生产函数可得,MC=W*(K/L)^(1/3),AC=C/Q。将MC和AC带入式子中,可得:
W*(K/L)^(1/3)=C/Q
W=2,C是待求解的变量,代入Q=2 000和上式中,可得:
(K/L)^(1/3)=3/C
将生产函数Q=L^(2/3)K^(1/3)和Q=2 000带入上式中,可得:
(K/L)^(1/3)=(2 000/L^(2/3))^(3/2)/3
解得K/L=500/27
将K/L=500/27代入生产函数Q=L^(2/3)K^(1/3)中,可得:
2 000=(L^(2/3)*(500/27)^(1/3))
解得L=250, K=13 889
此时,求得最小成本时的L=250,K=13 889,C=MC*Q=2*(13 889/250)^(1/3)*2 000=8 000/3。
(3) 根据生产函数Q=L^(2/3)K^(1/3),可以得出该函数是规模报酬递增的函数,因为当L和K的增加时,Q的增加速度会更快。
(4) 在短期,资本数量固定,劳动数量变动,由生产函数可得,边际产品递减,即当劳动数量增加时,每增加一个单位的劳动对产量的贡献逐渐变小。因此,劳动呈现边际报酬递减。