7-18 二分法求多项式单根 (20 分)

二分法是一种求解多项式单根的常用方法。其基本思想是将区间不断缩小，直到找到多项式的根。

具体步骤如下：

1. 选择一个区间[a,b]，使得多项式在该区间内有且仅有一个根。

2. 计算区间的中点c=(a+b)/2。

3. 计算多项式在c处的函数值f(c)。

4. 如果f(c)等于，则c为多项式的根；如果f(c)不等于，则判断f(c)与f(a)或f(b)的符号是否相同。

5. 如果f(c)与f(a)或f(b)的符号相同，则说明多项式的根在区间[a,c]或[c,b]内，将该区间作为新的区间，重复步骤2-4。

6. 如果f(c)与f(a)或f(b)的符号不同，则说明多项式的根在区间[a,b]内，将该区间作为新的区间，重复步骤2-4。

7. 不断重复步骤2-6，直到找到多项式的根或者区间足够小。

需要注意的是，二分法只能求解单根，如果多项式有多个根，则需要多次使用二分法来求解。此外，二分法的收敛速度较慢，因此在实际应用中，通常使用更高效的求根方法。

相关问题

6-3 二分法求多项式单根

这是一个编程类的问题，可以回答。二分法求多项式单根的基本思路是：首先确定一个区间，然后将区间分成两半，判断单根在哪一半，再将该半区间继续分成两半，重复上述步骤，直到找到单根或者区间足够小。具体实现可以参考以下代码：

-- 多项式函数
function f(x)
    return x^3 - 2*x - 5
end

-- 二分法求单根
function bisection(a, b, eps)
    local fa, fb = f(a), f(b)
    if fa * fb > 0 then
        return nil
    end
    while b - a > eps do
        local c = (a + b) / 2
        local fc = f(c)
        if fa * fc < 0 then
            b, fb = c, fc
        else
            a, fa = c, fc
        end
    end
    return (a + b) / 2
end

-- 测试
local root = bisection(1, 2, 0.0001)
if root then
    print("单根为：" .. root)
else
    print("未找到单根")
end

其中，f(x) 是多项式函数，bisection(a, b, eps) 是二分法求单根的函数，a 和 b 是区间的左右端点，eps 是精度要求。在测试中，我们以 x^3 - 2x - 5 = 0 为例，求解区间为 [1, 2]，精度要求为 0.0001。运行结果为：

单根为：1.7692928314209

用C写一个二分法求多项式方程根的程序

以下是用C语言实现二分法求多项式方程根的程序：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    // 定义多项式方程，这里以 x^3 + 2x^2 + 10x - 20 为例
    return pow(x, 3) + 2 * pow(x, 2) + 10 * x - 20;
}

double bisection(double a, double b, double eps) {
    double c;
    while ((b - a) > eps) {
        c = (a + b) / 2;
        if (f(c) == 0.0) {
            return c;
        } else if (f(a) * f(c) < 0) {
            b = c;
        } else {
            a = c;
        }
    }
    return c;
}

int main() {
    double a, b, eps, root;
    printf("Enter the interval [a, b]: ");
    scanf("%lf %lf", &a, &b);
    printf("Enter the error tolerance: ");
    scanf("%lf", &eps);
    root = bisection(a, b, eps);
    printf("The root is %lf\n", root);
    return 0;
}

该程序首先定义了一个多项式方程 f(x)，然后实现了一个 bisection 函数，该函数接受三个参数：区间左端点 a、区间右端点 b 和误差容限 eps。该函数使用二分法迭代计算多项式方程的根，并返回计算出的根。

在主函数中，程序要求用户输入区间 [a, b] 和误差容限 eps，然后调用 bisection 函数计算多项式方程的根，并输出结果。