已知离散LTI系统，激励f(k)=3ku(k)，单位脉冲响应h(k)=2ku(k)，画出该系统的零状态响应yzs(k)在有限区间的波形。(有限区间自行设定)

根据离散LTI系统的性质，零状态响应可以表示为卷积形式：

yzs(k) = f(k) * h(k)

其中，* 表示离散卷积。

代入给定的激励和单位脉冲响应，得到：

yzs(k) = (3k * h(k)) * (2k * u(k))

展开卷积，得到：

yzs(k) = 6 * sum(i=0 to k) i^2

这里的 sum 表示求和符号。

因此，零状态响应为：

yzs(k) = 0, k=0
yzs(k) = 6 * sum(i=1 to k) i^2, k>0

我们可以画出 k=1 到 k=10 的有限区间内的波形：

k   yzs(k)
---------
1   6
2   24
3   54
4   96
5   150
6   216
7   294
8   384
9   486
10  600

相关问题

已知离散LTI离散系统，激励fk=2εk，单位脉冲响应为hk=3的k次方εk，试编写MATLAB程序，求出该系统的零状态响应并作图，区间为0到20

为了计算给定离散线性时不变（LTI）系统的零状态响应，并绘制其图形，我们首先需要了解系统的定义。对于离散系统，零状态响应可以通过系统的差分方程表示。在这种情况下，由于激励信号 \( f_k = 2\epsilon_k \)（可能是指单位阶跃序列），而单位脉冲响应 \( h_k = 3^k\epsilon_k \)，我们可以推断出系统可能是由一个一阶递归关系定义的。

假设差分方程形式为 \( y_k = a y_{k-1} + b u_k \)，其中 \( u_k = 2\epsilon_k \) 是输入，\( y_k \) 是输出，\( a \) 是系统常数（在这里可能是3），\( b \) 可能是1（因为没有提到其他项）。然而，题目没有明确说明 \( a \) 的值，所以我们必须假设 \( a = 3 \)。

由于这是个简单的因果系统，零状态响应可以直接用 \( u_k \) 表示，即 \( z_k = u_k = 2\epsilon_k \)，因为初始状态为零。

下面是一个简单的MATLAB程序来生成并绘制零状态响应从0到20：

% 定义时间点范围
t = 0:0.1:20;

% 初始化零状态响应数组
zkr = zeros(size(t));

% 设定激励信号为2
u = 2;

% 更新零状态响应
for k = 1:length(t)
    zkr(k) = u;
    % 在这里假设a=3（如题设）
    if k > 1
        zkr(k) = zkr(k) * 3; % 由于没有其他输入项，这里不需要加b
    end
end

% 绘制零状态响应
plot(t, zkr, 'LineWidth', 2);
xlabel('Time (steps)');
ylabel('Zero State Response');
title('Discrete LTI System Zero State Response');
grid on;

请注意，如果 \( a \neq 3 \)，那么在循环内更新 `zkr` 的表达式应该是 `zkr(k) = zkr(k-1) * a + b * u`。如果你知道具体的系数，请提供它们，以便我可以给出更准确的代码。如果没有其他信息，这个程序基于 \( a = 3 \) 假设运行。

已知离散LTI离散系统3y（k）-4y（k-1）+y（k-2）=fk，激励fk=2εk，单位脉冲响应为hk=3的k次方εk，试编写MATLAB程序，求出该系统的零状态响应并作图，区间为0到20

要计算给定离散线性时不变（LTI）系统的零状态响应，我们首先需要了解系统函数H(z)。对于这个特定的差分方程，它是：

\[ 3y(k) - 4y(k-1) + y(k-2) = f_k \]

当激励 \( f_k = 2\delta[k] \)，即单位脉冲响应 \( h_k = 3^k\delta[k] \)，我们可以推断出系统函数H(z)。单位脉冲响应表示了系统对单位阶跃响应的拉普拉斯变换，而这里\( h_k \)表明系统是一个递归滤波器。

由于\( h_k = 3^k \)，这意味着\( H(z) = \frac{3}{1 - 4z^{-1} + 3z^{-2}} \)。这是一个二阶递归滤波器，形式上可以用Z变换的卷积性质来找到零状态响应。但是为了简单起见，我们可以直接用Z变换的方法来解。

首先，我们需要定义系统的系数（a, b, c, d），然后使用`ztrans`函数进行Z变换。接着，计算零状态响应（zn），这可以通过以下步骤完成：

1. 定义系统参数
2. 计算系统函数
3. 找到zn（零输入响应）
4. 求和zn与hk得到零状态响应
5. 绘制结果

下面是MATLAB代码示例：

% 参数定义
a = 3;            % 常数项
b = -4;
c = 1;
d = 0;

% 单位脉冲响应hk
hk = [1 0 zeros(1, 20)];  % 从k=0到k=20，初始值为单位阶跃响应
hk(1) = 3;                  % 第1个位置对应于hk(0)=3

% Z变换系数
A = [1 a b];
B = [c d];

% 系统函数H(z)
H_z = tf(A, B);

% 零状态响应zn (因为d=0，所以直接为1)
zn = ztrans([1 zeros(1, length(hk)-1)], 'z');

% 零输入响应 zk = zn * H_z
zk = zn * impulse(H_z);

% 零状态响应ys = zk + hk
ys = zk + hk;

% 绘制零状态响应
t = (0:length(ys)-1)';
plot(t, ys);
xlabel('Time (k)');
ylabel('Response');
title('Zero State Response of the LTI System');
grid on;

运行这段代码后，你应该能看到系统的零状态响应曲线。