∫(secx)^3dx的不定积分,并给出详细步骤
时间: 2024-05-26 21:12:09 浏览: 17
可以使用递推公式来求解∫(secx)^3dx的不定积分:
∫(secx)^3dx = ∫(secx)*(secx)^2dx
令u = secx,du/dx = secx*tanx,dx = du/(u*tanx),将其代入上式得到:
∫(secx)^3dx = ∫u*(secx*tanx)^2*(du/(u*tanx)) = ∫(du/u) * (1/cos^2(x))
化简得到:
∫(secx)^3dx = ∫(du/u) * (cos^2(x)/cos^2(x) - 1) = ∫(du/u) - ∫(du/u)*cos^2(x)
第一项的不定积分为ln|u| + C,第二项可以使用三角恒等式化简:
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2
代入得到:
∫(secx)^3dx = ln|secx + tanx| - (1/2)∫(du/u)*(1 + cos(2x))dx
化简得到:
∫(secx)^3dx = ln|secx + tanx| - (1/2)ln|u| - (1/4)sin(2x) + C
代回u = secx,得到最终结果:
∫(secx)^3dx = ln|secx + tanx| - (1/2)ln|secx| - (1/4)sin(2x) + C
相关问题
∫(secx)^5dx的不定积分,并给出详细步骤
首先我们可以使用分部积分法来求解这个不定积分,具体步骤如下:
设u = sec(x),dv = (sec(x))^4dx,则du/dx = sec(x)tan(x),v = (1/3)tan(x)sec^3(x)dx
则∫(sec(x))^5dx = ∫(sec(x))^4(sec(x))dx = u*v - ∫v*du/dx*dx
化简得到:∫(sec(x))^5dx = (1/3)sec^3(x)tan(x) - (1/3)∫(sec(x))^2tan^2(x)sec(x)dx
然后我们可以利用三角恒等式将tan^2(x)表示为sec^2(x) - 1,得到:
∫(sec(x))^5dx = (1/3)sec^3(x)tan(x) - (1/3)∫(sec^3(x) - sec(x))sec(x)dx
继续化简,得到:
∫(sec(x))^5dx = (1/3)sec^3(x)tan(x) - (1/3)∫sec^4(x)dx + (1/3)∫sec^2(x)dx
我们可以通过多次使用上述公式,不断将不定积分转化为更简单的形式,最终得到:
∫(sec(x))^5dx = (1/3)sec^3(x)tan(x) - (1/9)sec^3(x) - (2/9)ln|sec(x) + tan(x)| + C
其中C为任意常数。
x^2/1+(cosx)^2的不定积分的求解过程
首先,我们可以将 x^2/1 (cosx)^2 写成 x^2 sec^2x 的形式,然后使用分部积分法进行求解。令 u = x^2 和 dv = sec^2x dx,那么 du = 2x dx 和 v = tanx。根据分部积分公式,不定积分为:
∫ x^2 sec^2x dx = x^2 tanx - ∫ 2x tanx dx
接着,我们可以再次使用分部积分法,令 u = 2x 和 dv = tanx dx,那么 du = 2 dx 和 v = ln|secx|。根据分部积分公式,不定积分为:
∫ 2x tanx dx = 2x ln|secx| - ∫ 2 ln|secx| dx
化简得到:
∫ x^2 sec^2x dx = x^2 tanx - 2x ln|secx| + 2 tanx + C
其中 C 为常数。
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