用伪代码的形式写一个BFGS算法

以下是伪代码形式的BFGS算法：

输入：目标函数 f(x)，初始点 x_0，容许误差 tol，最大迭代次数 max_iter
输出：最优解 x_star

初始化：
    k = 0
    H_0 = I
    x_k = x_0

重复直到满足终止条件：
    1. 计算梯度 g_k = grad(f(x_k))
    2. 如果 ||g_k|| < tol，终止迭代，输出 x_star = x_k
    3. 计算搜索方向 d_k = - H_k * g_k
    4. 选择步长 alpha_k 使得 f(x_k + alpha_k * d_k) 达到最小值
    5. 更新 x_{k+1} = x_k + alpha_k * d_k
    6. 计算梯度 g_{k+1} = grad(f(x_{k+1}))
    7. 计算 s_k = x_{k+1} - x_k 和 y_k = g_{k+1} - g_k
    8. 计算 rho_k = 1 / (y_k^T * s_k)
    9. 更新 B_{k+1} = (I - rho_k * s_k * y_k^T) * B_k * (I - rho_k * y_k * s_k^T) + rho_k * s_k * s_k^T
    10. k = k + 1
    11. 如果 k >= max_iter，终止迭代，输出 x_star = x_k

输出 x_star

其中，BFGS算法的核心是在每次迭代过程中更新近似的海森矩阵 B_k，使其逼近目标函数的海森矩阵。具体而言，步骤 7-9 实现了BFGS算法中的海森矩阵近似更新公式。