定义递归函数sum(n)计算1+2+...+n, 其中n的类型是int，函数类型是double。

### 回答1：
这是一个计算从1到n的整数和的函数，可以定义为：

def sum(n):
    return (n * (n + 1)) / 2

如果n是整数类型，那么结果也是整数类型。但是如果需要在函数中使用double类型，可以将函数定义修改为：

def sum(n):
    return (n * (n + 1)) / 2.0

在这种情况下，无论n是整数还是浮点数类型，函数都将返回一个双精度浮点数类型的结果。

### 回答2：
递归函数sum(n)可以用以下方式来实现：

double sum(int n){
// 结束递归的条件：当n等于1的时候直接返回1
if(n == 1){
return 1;
}
// 递归求解剩余的部分并累加
else{
return n + sum(n-1);
}
}

这个函数的递归思路比较简单：如果n等于1，那么就直接返回1；否则，就递归的求解n-1的部分，并将结果与n相加。因此，如果调用sum(5)，即计算1+2+3+4+5的结果，程序流程如下：

sum(5)
->5 + sum(4)
->4 + sum(3)
->3 + sum(2)
->2 + sum(1)
->1
->2 + 1
->3 + 3
->4 + 6
->5 + 10
->15

上面是一个简单的递归调用栈，展示了sum(5)最后计算出来的结果为15的过程。

需要注意的是，递归函数可能会因为递归深度太大而占用过多的内存或者爆栈（stack overflow），因此在使用递归时需要慎重考虑。此外，在这个特定的问题中，普通的循环迭代算法也可以很容易地计算出1+2+...+n的结果，而且不需要使用递归。

### 回答3：
递归函数sum(n)计算1 2 ... n，是一种常见的计算数列和的方式。函数的实现思路是，当n为0时，返回0；否则递归调用sum函数计算1 2 ... n-1的和，并将其与n相加得到sum(n)的值。

具体实现如下：

double sum(int n) {
if (n == 0) return 0;
else return sum(n-1) + n;
}

需要注意的是，递归函数的实现需要注意边界情况，即当n等于0情况的处理，以及递归结束的条件。此外，函数的实现中要注意函数的返回值类型，由于累加和可能会超出int类型的最大值，因此函数类型设置为double类型，保证精度和范围的正确性。本函数的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)，即需要n个递归的函数栈空间。