$\begin{bmatrix} 2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2) \ -8(x_1^2-x_2) \end{bmatrix}$的jacobi矩阵
时间: 2023-06-25 09:06:11 浏览: 63
设$f_1(x_1,x_2)=2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2)$,$f_2(x_1,x_2)=-8(x_1^2-x_2)$,则Jacobi矩阵为:
$$
J(x_1,x_2) = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2+24x_1^2-8x_2 & -8x_1 \\
-16x_1 & 8
\end{bmatrix}
$$
因此,该函数在点$(x_1,x_2)$的Jacobi矩阵为$\begin{bmatrix}
2+24x_1^2-8x_2 & -8x_1 \\
-16x_1 & 8
\end{bmatrix}$。
相关问题
求$ \min_x (x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $的梯度
我们可以先对每个变量求偏导数,然后将它们组合成梯度向量。对于每个变量 $x_i$,我们有:
$$\frac{\partial}{\partial x_i}((x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2)$$
对于 $i=1$,我们有:
$$(\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1-2)^2)+(\frac{\partial}{\partial x_1}(2(x_1^2-x_2)^2))$$
$$=2(x_1-2)+8x_1(x_1^2-x_2)$$
对于 $i=2$,我们有:
$$-4(x_1^2-x_2)$$
因此,梯度向量为:
$$\nabla f(x)=\begin{bmatrix} 2(x_1-2)+8x_1(x_1^2-x_2) \\ -4(x_1^2-x_2) \end{bmatrix}$$
其中,$f(x)=(x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2$
求$ \min_x (x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $的梯度
我们可以先对$x_1$和$x_2$分别求偏导数:
$$\frac{\partial}{\partial x_1}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]=2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2)$$
$$\frac{\partial}{\partial x_2}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]=-8(x_1^2-x_2)$$
因此,该函数的梯度向量为:$$\nabla f(x)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_1}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2] \\
\frac{\partial}{\partial x_2}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2) \\
-8(x_1^2-x_2)
\end{bmatrix}$$
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