用牛顿法求解：min𝑓(𝑥)=−1/(𝑥_1^2+𝑥_2^2+2)，取初始点𝑥^((0))=(〖4,0)〗^𝑇

首先，我们需要求出该函数的梯度和海森矩阵：

$$
\nabla f(x) = \begin{bmatrix}
\dfrac{2x_1}{(x_1^2 + x_2^2 + 2)^2} \\
\dfrac{2x_2}{(x_1^2 + x_2^2 + 2)^2}
\end{bmatrix}
$$

$$
H_f(x) = \begin{bmatrix}
\dfrac{2-6x_1^2+2x_2^2}{(x_1^2+x_2^2+2)^3} & \dfrac{-8x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2+2)^3} \\
\dfrac{-8x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2+2)^3} & \dfrac{2x_1^2-6x_2^2+2}{(x_1^2+x_2^2+2)^3}
\end{bmatrix}
$$

然后，我们可以使用牛顿法来迭代求解最小值。迭代公式如下：

$$
x^{(k+1)} = x^{(k)} - [H_f(x^{(k)})]^{-1} \nabla f(x^{(k)})
$$

根据初始点 $x^{(0)} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$，我们可以进行如下迭代：

$$
\begin{aligned}
\nabla f(x^{(0)}) &= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{18} \\ 0 \end{bmatrix} \\
H_f(x^{(0)}) &= \begin{bmatrix} \dfrac{17}{5832} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{162} \end{bmatrix} \\
[H_f(x^{(0)})]^{-1} &= \begin{bmatrix} 5832/17 & 0 \\ 0 & 162 \end{bmatrix} \\
x^{(1)} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5832/17 & 0 \\ 0 & 162 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/18 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.3529 \\ 0 \end{bmatrix} \\
\nabla f(x^{(1)}) &= \begin{bmatrix} \dfrac{4.9412}{63.6925} \\ 0 \end{bmatrix} \\
H_f(x^{(1)}) &= \begin{bmatrix} \dfrac{0.0156}{63.6925} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{6345.56} \end{bmatrix} \\
[H_f(x^{(1)})]^{-1} &= \begin{bmatrix} 6345.56 & 0 \\ 0 & 6345.56 \end{bmatrix} \\
x^{(2)} &= \begin{bmatrix} 2.3529 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6345.56 & 0 \\ 0 & 6345.56 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4.9412/63.6925 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

因此，最小值为 $f(x) = -\dfrac{1}{2}$，该最小值对应的 $x$ 值为 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。