设连续型随机变量x的概率 数为f(x)= -1<x<1 ,else= 0,,则P{X<3}=()
时间: 2024-03-21 21:25:22 浏览: 25
由于概率密度函数f(x)在区间(-1,1)内是一个常数,因此可以用区间面积除以总面积的方式来计算概率。即:
P{X<3} = ∫[-1,3]f(x)dx / ∫[-1,1]f(x)dx
由于f(x)在[-1,1]以外的区间上等于0,因此:
∫[-1,3]f(x)dx = ∫[-1,1]f(x)dx = 2
因此:
P{X<3} = ∫[-1,3]f(x)dx / ∫[-1,1]f(x)dx = 2/2 = 1
所以P{X<3}=1。
相关问题
设x是一个连续的非负随机变量,证明e(x)=定积分(1-fx(a))da
要证明这个等式,首先我们需要明确一些定义和性质。
设x是一个连续的非负随机变量,即x的取值范围为非负的实数。设Fx(x)为x的累积分布函数,即Fx(x) = P(X≤x)。而fx(x)为概率密度函数,即fx(x) = Fx'(x)。
我们知道,对于一个连续的随机变量x,其期望值E(x)可以表示为:
E(x) = ∫xfx(x)dx ......(1)
我们要证明的等式是:
E(x) = ∫(1 - Fx(a))da ......(2)
下面来证明这个等式。
对式子(1)两边进行积分运算得到:
∫E(x)dx = ∫∫xfx(x)dxdx
由于x是非负的,所以可以将第一个积分的上限设为x,从0到无穷大进行积分。同时注意到,对于每一个x,我们可以将第二个积分的上限设为x,从0到x进行积分。
∫E(x)dx = ∫∫xfx(x)dxdx
= ∫[∫xfx(x)dx]dx
= ∫[∫x[∫fx(x)dxdx]dx
= ∫[∫xFx(x)dx]dx
将上述结果表示为定积分形式:
∫E(x)dx = ∫[∫xFx(x)dx]dx
= ∫[∫(1 - (1 - F(x)))xdx]dx
= ∫[∫(1 - (1 - F(x)))dx]dx
= ∫[∫(1 - F(x))dx]dx
将右边的积分进行运算:
∫[∫(1 - F(x))dx]dx = ∫[x - ∫F(x)dx]dx
= ∫x - ∫(Fx(x))dx]dx
= ∫x - [Fx(x)]dx]dx
= ∫x - xdx
= ∫0dx
= 0
所以,我们得到:
∫E(x)dx = 0
由于这个等式对于所有的非负连续随机变量x都成立,所以我们可以得出:
E(x) = ∫(1 - Fx(a))da
证毕。
这个证明说明了期望值可以通过求累积分布函数的定积分来计算,这个定积分涵盖了随机变量的概率分布,可以准确地表示出期望值。
记y为连续型终身生存年金随机变量,已知ut+1=ut
根据题目给出的条件,已知实验时间t=1年时,y的终身生存年金的价值等于实验时间t=1年时y的价值(记为ut)。我们可以将问题转化为如何求解随机变量y在实验时间t=1年时的概率密度函数。
首先,我们知道终身生存年金是一个连续型随机变量,其概率密度函数为f(y)。根据题目给出的条件,当实验时间t=1年时,y的终身生存年金的价值等于ut。因此,我们可以将该条件表示为:
F(ut) = P(y ≤ ut) = 1
其中,F(ut)为y的累积分布函数。由于我们已知ut=1,因此上述条件可以表示为:
F(1) = P(y ≤ 1) = 1
接下来,我们可以使用求解连续型随机变量的概率密度函数的方法来解题。由于y的概率密度函数为f(y),我们可以将上述条件表达为:
∫(0,1) f(y)dy = 1
这是一个关于f(y)的积分方程。根据解积分方程的方法,我们可以求解出概率密度函数f(y)。
另外,由于题目并未给出其他关于y的信息,我们无法确定f(y)的具体形式。因此,在题目给出的条件下,我们无法确定y的具体概率密度函数。但我们可以得出的结论是,y在实验时间t=1年时的生存年金的价值等于ut=1的概率为1。
综上所述,在已知ut 1=ut的条件下,无法确定y的具体概率密度函数,但可以得出y在实验时间t=1年时生存年金价值等于ut=1的概率为1。
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