证明若Q×A=P×A,且P≠Q,则A=∅。
时间: 2023-08-17 19:05:07 浏览: 53
首先,我们知道如果两个非零向量的积为零,则这两个向量线性相关。而两个不同的点可以表示为不同的向量,因此题目中的条件可以改写为两个不同的点P和Q满足PA=QA。
现在假设A不为空,那么至少存在一个点X使得X∈A。由于P和Q不相等,因此P和Q可以确定一条直线L,即所有满足PA=QA的点构成的直线。由于X∈A,因此X也在直线L上。
接下来,考虑另一个点Y∈A。我们可以将向量PY表示为PA加上AY,即:
PY = PA + AY
同样地,我们可以将向量QY表示为QA加上AY,即:
QY = QA + AY
由于PA=QA,因此我们可以得到:
PY = QY
也就是说,点P、Q和Y构成的三角形是等腰三角形,其中PY=QY。因此,点Y也在直线L上。
综上所述,如果A非空,则直线L包含A中的所有点。但由于P和Q是不同的点,因此直线L不可能是一条经过原点的直线。因此,A不能包含任何点,即A=∅。
相关问题
对任意集合A,B, 证明:若A≠∅,BxA=CxA, 则B=C。
证明:
对于任意元素x∈B,y∈A,由于A非空,则存在y∈A,因此(x, y)∈B×A=C×A。因此,存在z∈C,使得(x, y)=(z, y)。这意味着x=z。
由于x的选择是任意的,因此对于任意元素x∈B,都有x∈C。因此,B⊆C。
同理,对于任意元素x∈C,y∈A,存在y∈A,因此(x, y)∈C×A=B×A。因此,存在z∈B,使得(x, y)=(z, y)。这意味着x=z。
因此,C⊆B。
综上所述,B=C。证毕。
离散数学中 设A={∅,{∅}},则P(∩A)=
首先,A 中只有两个元素:空集和包含空集的集合,即 A = {∅, {∅}}。
那么,A 的所有子集为:{∅, {∅}, {∅, {∅}}}。
因此,∩A = {∅},即 A 中所有集合的交集是空集。
最后,P(∅) = 0,因为空集的概率为 0。
因此,P(∩A) = P({∅}) = 0。
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