用代码实现主元Lu分解

主元Lu分解是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，其中下三角矩阵和上三角矩阵都是对角线元素为1的三角矩阵。下面是用Python实现主元Lu分解的代码：

import numpy as np

def lu_factor(A):
    n = A.shape[0]
    L = np.eye(n)
    U = np.copy(A)
    for k in range(n-1):
        pivot = np.argmax(np.abs(U[k:, k])) + k
        if U[pivot, k] == 0:
            raise ValueError("LU factorization failed: singular matrix")
        if pivot != k:
            U[[pivot, k], k:] = U[[k, pivot], k:]
            L[[pivot, k], :k] = L[[k, pivot], :k]
        L[k+1:, k] = U[k+1:, k] / U[k, k]
        U[k+1:, k:] -= L[k+1:, k][:, np.newaxis] * U[k, k:]
    return L, U

这个函数接受一个$n\times n$的矩阵$A$作为输入，返回一个形如$(L,U)$的元组，其中$L$是下三角矩阵，$U$是上三角矩阵。这里我们采用了部分选主元的方法，即在第$k$列中选取绝对值最大的元素作为主元。如果主元为0，则无法进行分解，抛出异常。选定主元后，如果不是第$k$行，则将第$k$行和主元所在的行互换，以确保主元在第$k$行。接着，将$L$的第$k+1$行到第$n$行第$k$列的元素设置为$U$相应元素除以主元，即$L_{i,k}=U_{i,k}/U_{k,k}$。然后，将$U$的第$k+1$行到第$n$行第$k$列的元素减去$L$对应元素乘以$U$的第$k$行第$k$列的元素，即$U_{i,j} \leftarrow U_{i,j}-L_{i,k}U_{k,j}$。最后，返回$L$和$U$。