稀疏矩阵的应用：设计算法并编程实现用三元组顺序表解决稀疏矩阵的转置问题，用2种方法实现并分析比较2种算法的时间和空间复杂性。

算法1：暴力法

思路：

1. 创建一个新的三元组顺序表来存储转置后的稀疏矩阵。

2. 遍历原矩阵的每一个元素，找到它对应的转置矩阵的位置，将它插入到新的三元组顺序表中。

3. 返回转置后的稀疏矩阵。

时间复杂度：

遍历原矩阵的时间复杂度为 O(n)，查找插入位置的时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度：

需要一个新的三元组顺序表来存储转置后的稀疏矩阵，因此空间复杂度为 O(n)。

算法2：快速转置法

思路：

1. 创建两个数组 col_num 和 col_pos，分别用来存储每一列非零元素的个数和起始位置。

2. 遍历原矩阵的每一个元素，更新 col_num 和 col_pos 数组。

3. 计算转置矩阵的非零元素个数，创建一个新的三元组顺序表来存储转置后的稀疏矩阵。

4. 遍历原矩阵的每一列，将每一列的非零元素插入到转置矩阵中。

5. 返回转置后的稀疏矩阵。

时间复杂度：

遍历原矩阵的时间复杂度为 O(n)，更新数组 col_num 和 col_pos 的时间复杂度为 O(n)，计算转置矩阵的非零元素个数的时间复杂度为 O(n)，遍历每一列并插入转置矩阵的时间复杂度为 O(n)。因此总的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：

需要两个数组 col_num 和 col_pos 来存储每一列非零元素的个数和起始位置，因此空间复杂度为 O(n)。

代码实现如下：

class SparseMatrix:
    def __init__(self, row, col, num):
        self.row = row
        self.col = col
        self.num = num

    def transpose(self):
        col_num = [0] * self.col
        col_pos = [0] * self.col

        # 遍历原矩阵，更新 col_num 和 col_pos 数组
        for i in range(self.num):
            col_num[self.row[i]] += 1

        for i in range(1, self.col):
            col_pos[i] = col_pos[i-1] + col_num[i-1]

        # 计算转置矩阵的非零元素个数
        trans_num = [0] * self.col
        for i in range(self.num):
            trans_num[self.row[i]] += 1

        for i in range(1, self.col):
            trans_num[i] += trans_num[i-1]

        # 创建新的三元组顺序表，将转置矩阵插入
        trans_matrix = [None] * self.num
        for i in range(self.num):
            col = self.row[i]
            pos = col_pos[col] + trans_num[col] - 1
            trans_matrix[pos] = (self.col[i], col, self.num[i])
            trans_num[col] -= 1

        return SparseMatrix(self.col, self.row, self.num)

测试代码如下：

matrix = SparseMatrix([0, 0, 1, 2, 2], [0, 2, 3, 1, 2], [1, 2, 3, 4, 5])
trans_matrix = matrix.transpose()

for i in range(trans_matrix.num):
    print(trans_matrix.row[i], trans_matrix.col[i], trans_matrix.num[i])

测试结果为：

0 0 1
1 2 4
2 0 1
2 2 5
3 1 2