约瑟夫问题：有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编号。

约瑟夫问题：有 n 只猴子围成一圈，从第 1 号开始报数，数到 m 的猴子退出圈外，剩下的猴子再从 1 开始报数，直到圈内只剩下一只猴子，这个猴子就是猴王，请编程输入 n 和 m，输出最后猴王的编号。

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约瑟夫问题：有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王

### 回答1：
约瑟夫问题是一个经典的数学问题，描述了一群猴子选举猴王的过程。假设有n只猴子，按顺时针方向围成一圈，从第1只猴子开始报数，每数到第m只猴子，就将该猴子从圈中删除，直到圈中只剩下一只猴子为止，这只猴子就是猴王。

### 回答2：
约瑟夫问题是一道经典的数学难题，题目是：有n只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从1到n），从第1号开始报数，一直数到m，数到m的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王。

这道问题看起来非常简单，但实际上需要一些数学知识和技巧才能解决。这里给出一种比较通用的解法：

首先，我们可以使用递归来解决这个问题。假设我们已经知道了n-1只猴子时的猴王编号，我们可以将这个编号加上m，并对n取模，得到当前n只猴子中要退出的猴子的编号。然后，我们将这个编号从猴圈中删除，得到一个新的猴圈，再对新的猴圈中的n-1只猴子进行递归，直到只剩下一只猴子为止。

具体来说，我们可以使用一个数组来表示猴圈，每次找到要退出的猴子后，就将这个猴子的数组下标置为-1，表示已经退出猴圈。然后，我们可以使用一个循环来不断遍历数组，找到下一个还在猴圈中的猴子。这里需要注意，当数组下标等于n时，需要将其重置为0，以实现循环。

最终，当只剩下一只猴子时，我们就找到了猴王的编号。

总之，约瑟夫问题是一道非常有趣的数学问题，可以锻炼我们的递归和编程能力，也可以让我们感受到抽象数学的美妙。

### 回答3：
约瑟夫问题是一个经典的数学问题，也称为“约瑟夫环问题”，是道著名的古老问题。大约在1900年前，犹太史学家约瑟夫斯（Josephus）在被罗马军队包围时，用这个问题来排列一群人的难题。于是这个问题就被称为“约瑟夫环问题”。

对于这个问题，假设有n只猴子，编号为1到n，按顺时针方向围成一圈选大王。从第1号开始报数，假设现在报到的数为m，数到m的猴子就退出圈外，然后从下一只猴子重新开始数数。重复这个过程，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是猴王。

那么我们要如何求出猴王的编号呢？

首先我们需要明确报数过程，如何进行编号和报数。

编号过程：将猴子的编号从1到n依次排成一圆圈。
报数过程：从第1只猴子开始报数，报到m的猴子删除，接下来从被删除的猴子开始，继续从1报数，直到圆圈中只剩下一只猴子。

那么我们来模拟一下这个问题的过程，以n=6，m=3为例：

1 2 3 4 5 6
^

从第1个开始报数，报到3的时候，删除第3个猴子（即恰好在箭头^上的猴子），目前圈中猴子为：

1 2 4 5 6
^

接着从第4个猴子开始继续从1开始报数，报到3的时候，删除第3个猴子，目前圈中猴子为：

1 2 4 6
^

接着从第1个猴子开始继续从1开始报数，报到3的时候，删除第3个猴子，目前圈中猴子为：

1 2 6
^

接着从第2个猴子开始继续从1开始报数，报到3的时候，删除第3个猴子，目前圈中猴子为：

1 6
^

接着从第1个猴子开始继续从1开始报数，报到3的时候，删除第3个猴子，目前圈中猴子为：

1
^

最后只剩下了第1个猴子，也就是猴王。

那么经过分析可知，对于上述示例，猴王的编号为1。通用地，我们可以得出如下公式：

f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n

其中f(n, m)表示当有n只猴子，报到m的那只猴子出圈之后，剩下猴子中的猴王的编号。

因为是顺时针报数，所以将初始的序号从1开始，每次将序号+1即可。当序号大于n时，便从头开始。

综上我们就可以得到一个求解猴王编号的通用公式，通过数学计算得出结果，可以让我们在不断增加的猴子数量和报数次数下，快速求出猴王编号。

2、约瑟夫(josephus)环问题:编号为1,2,3,…,n的n个人按顺时针方向围坐一圈,每人

每个人都有一个编号，编号为1到n。开始时，编号为1的人开始报数，接着下一个人报数，直到k为止。报数到k的人出列，然后再从出列的人后面的人开始重新从1开始报数，一直循环下去，直到只剩下一个人。

约瑟夫环问题可以用递归的方式解决。当只有一个人时，这个人就是最后剩下的人；当有大于一个人时，将问题规模缩小到n-1个人，位置也向前移动了k位。所以推导出递推公式：

f(n, k) = (f(n-1, k) + k) % n

其中f(n, k)表示n个人中最后剩下的人的编号。

例如，当 n=5, k=2 时，运用递归公式可得最后剩下的人的编号为：

f(5, 2) = (f(4, 2) + 2) % 5 = (f(3, 2) + 2 + 2) % 5 = (2 + 2 + 2) % 5 = 1

所以当有5个人时，按照顺时针方向围坐一圈，每次报数到2的人出列，最后剩下的人的编号为1。

约瑟夫环问题也可以使用循环方式解决。通过建立一个长度为n的数组来表示n个人的状态，每次报数到k的人将其状态置为false，然后一直循环报数，直到只剩下一个人为止。最后剩下的人的编号即为数组中状态为true的索引位置加1。