对于最长递增子序列问题,写出状态转移方程。 对于序列{3,2,9,5,3,7,2},写出其动态规划数组的结果。
时间: 2023-09-08 14:05:32 浏览: 57
### 回答1:
最长递增子序列问题的状态转移方程为:
$$
dp[i] = \max_{0\leq j<i}\{dp[j] + 1\},\quad \text{s.t.}\quad nums[j] < nums[i]
$$
其中 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长递增子序列的长度,$nums$ 表示原序列。
对于序列{3,2,9,5,3,7,2},其动态规划数组的结果为:
$$
dp = \{1,1,2,2,2,3,1\}
$$
解释如下:
- $dp[0] = 1$,序列只有一个元素 3,长度为 1。
- $dp[1] = 1$,序列中没有比 2 更小的元素,长度为 1。
- $dp[2] = 2$,包括元素 3 和 9,都是单独的递增子序列。
- $dp[3] = 2$,最长的递增子序列是 {2, 5} 或 {3, 5}。
- $dp[4] = 2$,最长的递增子序列是 {2, 3}。
- $dp[5] = 3$,最长的递增子序列是 {2, 3, 7}。
- $dp[6] = 1$,序列中没有比 2 更小的元素,长度为 1。
### 回答2:
最长递增子序列问题是求一个给定序列中最长的递增子序列的长度。状态转移方程如下:
设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
则状态转移方程为:
dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且nums[j]<nums[i]。
对于给定的序列{3,2,9,5,3,7,2},动态规划数组的结果如下:
第一个元素3,以其结尾的最长递增子序列长度为1(3本身)。
第二个元素2,以其结尾的最长递增子序列长度为1(2本身)。
第三个元素9,前面有两个元素(3,2)小于9,分别对应的最长递增子序列长度分别为1和1,取最大值为2,所以以9结尾的最长递增子序列长度为2。
第四个元素5,前面有两个元素(3,2)小于5,分别对应的最长递增子序列长度分别为1和1,取最大值为2,所以以5结尾的最长递增子序列长度为2。
第五个元素3,前面有三个元素(2,9,5)小于3,分别对应的最长递增子序列长度分别为1、2、2,取最大值为2,所以以3结尾的最长递增子序列长度为2。
第六个元素7,前面有四个元素(2,9,5,3)小于7,分别对应的最长递增子序列长度分别为1、2、2、2,取最大值为2,所以以7结尾的最长递增子序列长度为2。
第七个元素2,前面有四个元素(3,2,9,5)小于2,分别对应的最长递增子序列长度分别为1、1、2、2,取最大值为2,所以以2结尾的最长递增子序列长度为2。
所以最长递增子序列的长度为2。
### 回答3:
最长递增子序列问题的状态转移方程可定义如下:
dp[i] = max(dp[j] + 1) 0 <= j < i and nums[i] > nums[j]
其中,dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度,nums[i]为序列中的第i个元素。
对于序列{3,2,9,5,3,7,2},其动态规划数组的结果如下:
dp[0] = 1 // 3的最长递增子序列长度为1
dp[1] = 1 // 2的最长递增子序列长度为1
dp[2] = 2 // 9的最长递增子序列长度为2,可以是{3,9}或{2,9}
dp[3] = 2 // 5的最长递增子序列长度为2,可以是{3,5}或{2,5}
dp[4] = 2 // 3的最长递增子序列长度为2,可以是{2,3}或{2,3}
dp[5] = 3 // 7的最长递增子序列长度为3,可以是{2,3,7}或{3,5,7}或{2,5,7}
dp[6] = 1 // 2的最长递增子序列长度为1
最终,最长递增子序列的长度为dp数组中的最大值,即dp[5] = 3。