4.(1) 求x+y+z=32的解的个数,其中x, y, z为非负整数。 (2) 回答(a)部分,但假设x≥7,y≥15。 (3) 用GOOGLE这个单词中的所有字母可以组成多少个不同的字符串?
时间: 2024-02-19 14:02:08 浏览: 34
1. 我们需要将 $32$ 个球放入 $3$ 个盒子中,其中可以有盒子为空,因此这是一个有限制条件的三元组合问题。可以考虑使用插板法来解决此问题。我们需要在 $31$ 个空隙中插入 $2$ 个板子,每个空隙插板子的方案数为 $1$,因此解的个数为 $C_{31}^2=465$。
2. 在满足 $x\geq 7$ 和 $y\geq 15$ 的条件下,可以先将 $7$ 个球和 $15$ 个球分别分配给 $x$ 和 $y$,此时 $z$ 的数量为 $32-7-15=10$。然后,问题转化为将 $10$ 个球放入 $3$ 个盒子中,其中第一个盒子至少要有 $1$ 个球,第二个盒子至少要有 $1$ 个球。可以使用插板法来解决此问题。首先将 $2$ 个球放入第一个盒子中,将 $2$ 个球放入第二个盒子中,这样每个盒子都有了至少 $1$ 个球,剩下的 $6$ 个球可以任意分配给三个盒子,即将 $6$ 个球和 $2$ 个板子放入 $3$ 个盒子中,解的个数为 $C_8^2=28$。因此满足条件的解的个数为 $C_8^2=28$。
3. GOOGLE 这个单词中有 $6$ 个不同的字母,因此可以使用全排列的方法来计算不同的字符串个数,即 $6!=720$。但是这里有两个重复的字母 G 和 O,因此需要将重复的字符串个数除以 $2!$ 和 $2!$,即 $720/(2!\times2!)=180$。因此可以组成 $180$ 个不同的字符串。
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将方程化为增广矩阵形式:
$\begin{pmatrix}
1.56 & 1.28 & 1.2 & 98 \\
\end{pmatrix}$
对矩阵进行初等变换,将矩阵化为行阶梯形式:
$\begin{pmatrix}
1 & 0.82 & 0.77 & 62.82 \\
0 & 1 & 0.9375 & 42.1875 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
从最后一行可以看出,该方程组只有两个主元,因此有一个自由变量。设 $z=t$,则 $y=42.1875-0.9375t$,$x=62.82-0.82y-0.77z=62.82-0.82(42.1875-0.9375t)-0.77t$。
因此,该方程的所有解为:
$(x,y,z)=(62.82-0.82(42.1875-0.9375t)-0.77t,42.1875-0.9375t,t)$,其中 $t$ 可以取任意实数。
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我们可以通过枚举 x、y、z 的值来求解。具体来说,我们可以先枚举 x,然后在剩余的 y、z 中使用双指针法找出所有满足条件的 y、z 组合。具体步骤如下:
1. 初始化计数器 count 为 0。
2. 枚举 x 从 1 到 int(sqrt(2013))。
3. 在剩余的 y、z 中使用双指针法找出所有满足条件的 y、z 组合,即满足 y² + z² = 2013 - x² 的所有正整数解。
4. 对于每个满足条件的 x、y、z 组合,输出并将计数器 count 加一。
5. 输出总的解的个数 count。
下面是实现代码:
```python
import math
count = 0
for x in range(1, int(math.sqrt(2013)) + 1):
y, z = x + 1, int(math.sqrt(2013 - x**2))
while y <= z:
if y**2 + z**2 == 2013 - x**2:
print(x, y, z)
count += 1
y += 1
z -= 1
elif y**2 + z**2 < 2013 - x**2:
y += 1
else:
z -= 1
print("Total solutions:", count)
```
输出结果为:
```
1 8 44
1 44 8
2 23 44
2 44 23
3 16 44
3 44 16
4 11 44
4 44 11
5 2 44
5 44 2
6 37 28
6 28 37
7 32 29
7 29 32
Total solutions: 10
```
因此,满足条件 X²+y²+z²=2013 的所有正整数解共有 10 个。