圆( x -2)2+( y -√2)2=1绕直线 x + y -2=0旋转一周所得立体的体积是
时间: 2023-06-20 20:06:56 浏览: 135
首先,我们可以将圆的方程改写为标准的球面方程形式:
$$(x-2)^2+(y-\sqrt{2})^2+z^2=1$$
然后,我们考虑将球体绕直线 $x+y-2=0$ 旋转。由于这条直线不与 $z$ 轴平行或重合,因此我们需要使用壳积分法来求解体积。
我们可以选择以 $y$ 轴为轴线,将圆投影到 $xz$ 平面上。这样我们就得到了一个以 $x$ 为半径,$z$ 轴为高的圆柱形。对于任意一个 $x$,这个圆柱形的高度为 $h(x)=\sqrt{1-(x-2)^2}-\sqrt{2}$。
现在我们需要计算出在 $x$ 这个位置上,圆柱形绕直线 $x+y-2=0$ 旋转所产生的体积元素。我们可以将这个体积元素看成是一个圆环,其外半径为 $r_1(x)=\sqrt{x^2+h(x)^2}$,内半径为 $r_2(x)=|x+y-2|$,高度为 $dx$。因此,这个圆环的体积为:
$$dV=\pi(r_1^2-r_2^2)dx=\pi\left( x^2+h(x)^2-(x+y-2)^2 \right)dx$$
现在我们可以使用壳积分法来计算整个立体的体积。将 $dV$ 从 $x=0$ 到 $x=4$ 进行积分,即可得到最终的结果:
$$V=\int_{0}^{4}dV=\int_{0}^{4}\pi\left( x^2+h(x)^2-(x+y-2)^2 \right)dx=\frac{94\pi}{15}-4\sqrt{2}\pi$$
因此,圆绕直线 $x+y-2=0$ 旋转所得立体的体积为 $\frac{94\pi}{15}-4\sqrt{2}\pi$。
相关问题
求导y=√xln(1+x)-2√x+arctan√x
这道题需要使用复合函数求导法和基本的求导公式。我们可以先将函数进行分解:
y = (√x * ln(1+x) - 2√x * arctan√x)
令 u = √x, v = ln(1+x) - 2arctan√x
则 y = u * v
根据复合函数求导法,y' = u'v + uv'
我们来求解 u' 和 v':
u' = (1/2√x)
v' = (1/(1+x) - 2(1/(1+2x) * 1/(2√x)))
现在我们可以代入这些公式:
y' = u'v + uv'
= (1/2√x) * (ln(1+x) - 2arctan√x) + (√x) * (1/(1+x) - 2(1/(1+2x) * 1/(2√x)))
= (ln(1+x)/(2√x)) - (arctan√x / √x) + (1/(2(1+x))) - (1/(√x(1+2x)))
所以,y' = (ln(1+x)/(2√x)) - (arctan√x / √x) + (1/(2(1+x))) - (1/(√x(1+2x)))
答案:y' = (ln(1+x)/(2√x)) - (arctan√x / √x) + (1/(2(1+x))) - (1/(√x(1+2x)))
y”-5y’+6y=6e^x-12x+2
同样的,我们先求齐次方程 $y''-5y'+6y=0$ 的通解。假设 $y=e^{mx}$,则有特征方程 $m^2-5m+6=0$,解得 $m_{1,2}=2,3$。因此,通解为 $y_c=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}$。
接下来,求非齐次方程的特解。根据非齐次项的形式,我们猜测特解为 $y_p=Ae^x+Bx+C$。将其带入非齐次方程,得到 $A=1$,$B=1$,$C=-2$。因此,特解为 $y_p=e^x+x-2$。
最后,将通解和特解相加,即可得到非齐次方程的通解:
$$
y=y_c+y_p=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}+e^x+x-2
$$
其中,$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数,可以由初始条件确定。
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