求下列向量组的秩与一个极大线性无关组 （1）α1=（1，1，1，1）ᵀ， α2=（1，1，-1，-1）ᵀ， α3=（1，-1，-1，1）ᵀ， α4=（-1，-1，-1，1）ᵀ

首先将向量组写成矩阵形式：

[ 1  1  1  1 ]
[ 1  1 -1 -1 ]
[ 1 -1 -1  1 ]
[-1 -1 -1  1 ]

然后对矩阵进行初等行变换，化成行阶梯形矩阵：

[ 1  1  1  1 ]
[ 0  0 -2 -2 ]
[ 0 -2 -2  0 ]
[ 0 -2 -2  2 ]

可以看出，矩阵中有三个非零行，因此向量组的秩为3。我们可以选择前三个向量作为一个极大线性无关组：

α1=（1，1，1，1）ᵀ， α2=（1，1，-1，-1）ᵀ， α3=（1，-1，-1，1）ᵀ

这三个向量线性无关，且添加任何一个向量都会导致线性相关。

相关问题

如果向量组1可以由向量组2线性表示，那么向量组2的极大线性无关组个数为多少，为什么？

如果向量组1可以由向量组2线性表示，那么向量组2的极大线性无关组个数可能不唯一，因为向量组2中的向量可以存在线性相关的情况。但是，向量组2中的极大线性无关组的个数一定是不大于向量组1的向量个数的，因为向量组1中的每个向量都可以由向量组2线性表示，那么向量组2中的每个向量都可以表示为向量组1中的一些向量的线性组合，因此向量组2的任意一个极大线性无关组中的向量个数都不可能超过向量组1的向量个数。

向量组的线性相关性定理4_向量组的最大线性无关组与秩

向量组的最大线性无关组是指选择向量组中尽可能多的向量，使得这些向量之间线性无关。具体的做法是，将向量组按照列向量排列成矩阵，并对矩阵进行初等变换，将矩阵化为行最简阶梯矩阵（也可以化为行最简形矩阵），最终选取所有不含零行的行所对应的列向量作为向量组的最大线性无关组。

向量组的秩是指向量组的最大线性无关组中向量的个数。根据向量组的线性相关性定理4，向量组的秩等于向量组中任意一个极大线性无关组所包含向量的个数，也等于向量组中任意一个极小生成组所包含向量的个数。

注意，向量组的秩与向量组的线性相关性密切相关，如果一个向量组是线性相关的，那么它的秩一定小于向量的个数；如果一个向量组是线性无关的，那么它的秩就等于向量的个数。